На сколько изменится гравитационная сила, действующая на ракету, если она поднимется на высоту, которая равна

Возьмем задачу на расчет изменения гравитационной силы действующей на ракету, когда она поднимается на высоту $h$. Для начала нужно понять, как гравитационная сила зависит от высоты.

Гравитационная сила между двумя объектами прямо пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Формула для расчета гравитационной силы выглядит следующим образом:

$$F={\displaystyle \frac{G\cdot m_1\cdot m_2}{r^2}}$$

где $F$ - гравитационная сила, $m_1$ и $m_2$ - массы объектов, $r$ - расстояние между ними, $G$ - гравитационная постоянная.

В данной задаче объектом является Земля, а ракета будет подниматься на высоту $h$. Поэтому расстояние будет между центром Земли и центром масс ракеты плюс радиус Земли $R$ (так как это высота над поверхностью Земли):

$$r=R+h$$

Теперь введем переменную $F_1$ для гравитационной силы, действующей на ракету на поверхности Земли. Тогда гравитационная сила, действующая на ракету на высоте $h$ будет обозначаться $F_2$.

Мы знаем, что масса ракеты остается неизменной, так как никакие вещества не добавляются или не удаляются из нее. Поэтому масса ракеты остается $m_2$, а масса Земли остается $m_1$.

Теперь можем записать формулы для $F_1$ и $F_2$:

$$F_1={\displaystyle \frac{G\cdot m_1\cdot m_2}{R^2}}$$

$$F_2={\displaystyle \frac{G\cdot m_1\cdot m_2}{(R+h{)}^2}}$$

Итак, чтобы найти изменение гравитационной силы, действующей на ракету, нам нужно вычислить разность между $F_2$ и $F_1$:

$$\mathrm{\Delta }F=F_2-F_1$$

Подставим значения $F_2$ и $F_1$:

$$\mathrm{\Delta }F={\displaystyle \frac{G\cdot m_1\cdot m_2}{(R+h{)}^2}}-{\displaystyle \frac{G\cdot m_1\cdot m_2}{R^2}}$$

Мы видим, что $G$, $m_1$, $m_2$ являются общими множителями. Вынесем их за скобку:

$$\mathrm{\Delta }F=G\cdot m_1\cdot m_2({\displaystyle \frac{1}{(R+h{)}^2}}-{\displaystyle \frac{1}{R^2}})$$

Разность двух квадратов можно представить в виде произведения суммы и разности:

$$\mathrm{\Delta }F=G\cdot m_1\cdot m_2\left({\displaystyle \frac{1}{(R+h{)}^2-R^2}}\right)\cdot ((R+h{)}^2+R^2)$$

Теперь можно раскрыть скобки:

$$\mathrm{\Delta }F=G\cdot m_1\cdot m_2\left({\displaystyle \frac{1}{h^2+2Rh+h^2-R^2}}\right)\cdot (R^2+2Rh+h^2)$$

Заметим, что $h^2$ и $R^2$ сокращаются:

$$\mathrm{\Delta }F=G\cdot m_1\cdot m_2\cdot \left({\displaystyle \frac{1}{2Rh+h^2}}\right)\cdot (R^2+2Rh+h^2)$$

Теперь мы видим, что во второй скобке есть сумма квадратов, которую можно представить в виде квадрата суммы:

$$\mathrm{\Delta }F=G\cdot m_1\cdot m_2\cdot \left({\displaystyle \frac{1}{2Rh+h^2}}\right)\cdot {(h+R)}^2$$

Таким образом, изменение гравитационной силы, действующей на ракету, когда она поднимается на высоту $h$, равно:

$$\mathrm{\Delta }F=G\cdot m_1\cdot m_2\cdot \left({\displaystyle \frac{(h+R{)}^2}{2Rh+h^2}}\right)$$

Это исчерпывающий ответ, указывающий на все необходимые шаги и детали для вычисления изменения гравитационной силы, действующей на ракету при подъеме на заданную высоту $h$.