На сколько изменится гравитационная сила, действующая на ракету, если она поднимется на высоту, которая равна

Возьмем задачу на расчет изменения гравитационной силы действующей на ракету, когда она поднимается на высоту \(h\). Для начала нужно понять, как гравитационная сила зависит от высоты.

Гравитационная сила между двумя объектами прямо пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Формула для расчета гравитационной силы выглядит следующим образом:

\[F = \dfrac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2}\]

где \(F\) - гравитационная сила, \(m_1\) и \(m_2\) - массы объектов, \(r\) - расстояние между ними, \(G\) - гравитационная постоянная.

В данной задаче объектом является Земля, а ракета будет подниматься на высоту \(h\). Поэтому расстояние будет между центром Земли и центром масс ракеты плюс радиус Земли \(R\) (так как это высота над поверхностью Земли):

\[r = R + h\]

Теперь введем переменную \(F_1\) для гравитационной силы, действующей на ракету на поверхности Земли. Тогда гравитационная сила, действующая на ракету на высоте \(h\) будет обозначаться \(F_2\).

Мы знаем, что масса ракеты остается неизменной, так как никакие вещества не добавляются или не удаляются из нее. Поэтому масса ракеты остается \(m_2\), а масса Земли остается \(m_1\).

Теперь можем записать формулы для \(F_1\) и \(F_2\):

\[F_1 = \dfrac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{R^2}\]

\[F_2 = \dfrac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{(R + h)^2}\]

Итак, чтобы найти изменение гравитационной силы, действующей на ракету, нам нужно вычислить разность между \(F_2\) и \(F_1\):

\[\Delta F = F_2 - F_1\]

Подставим значения \(F_2\) и \(F_1\):

\[\Delta F = \dfrac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{(R + h)^2} - \dfrac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{R^2}\]

Мы видим, что \(G\), \(m_1\), \(m_2\) являются общими множителями. Вынесем их за скобку:

\[\Delta F = G \cdot m_1 \cdot m_2 \left( \dfrac{1}{(R + h)^2} - \dfrac{1}{R^2} \right)\]

Разность двух квадратов можно представить в виде произведения суммы и разности:

\[\Delta F = G \cdot m_1 \cdot m_2 \left( \dfrac{1}{(R + h)^2 - R^2} \right) \cdot \left( (R + h)^2 + R^2 \right)\]

Теперь можно раскрыть скобки:

\[\Delta F = G \cdot m_1 \cdot m_2 \left( \dfrac{1}{h^2 + 2Rh + h^2 - R^2} \right) \cdot \left( R^2 + 2Rh + h^2 \right)\]

Заметим, что \(h^2\) и \(R^2\) сокращаются:

\[\Delta F = G \cdot m_1 \cdot m_2 \cdot \left( \dfrac{1}{2Rh + h^2} \right) \cdot \left( R^2 + 2Rh + h^2 \right)\]

Теперь мы видим, что во второй скобке есть сумма квадратов, которую можно представить в виде квадрата суммы:

\[\Delta F = G \cdot m_1 \cdot m_2 \cdot \left( \dfrac{1}{2Rh + h^2} \right) \cdot \left( h + R \right)^2\]

Таким образом, изменение гравитационной силы, действующей на ракету, когда она поднимается на высоту \(h\), равно:

\[\Delta F = G \cdot m_1 \cdot m_2 \cdot \left( \dfrac{(h + R)^2}{2Rh + h^2} \right)\]

Это исчерпывающий ответ, указывающий на все необходимые шаги и детали для вычисления изменения гравитационной силы, действующей на ракету при подъеме на заданную высоту \(h\).