На сколько градусов необходимо повысить температуру воздуха, чтобы уровень ртути в трубке стал таким же, как и снаружи, если трубка, запаянная с одного конца, погружена открытым концом в ртуть, и уровень ртути внутри трубки выше на 5 см при начальной длине незаполненной ртутью части трубки 50 см? Учитывать начальную температуру 17 градусов Цельсия и нормальное атмосферное давление.
Лебедь
Давайте найдем решение этой задачи пошагово.
1. Рассмотрим начальную ситуацию. Уровень ртути внутри трубки выше на 5 см при начальной длине незаполненной ртутью части трубки 50 см. Запишем это: \[ h_1 = 5 \, \text{см}, \quad l = 50 \, \text{см}. \]
2. Внутри трубки находится ртуть, а вокруг трубки — воздух. Если температура воздуха изменится, то из-за термического расширения произойдут изменения давления. Наша задача состоит в том, чтобы уровень ртути внутри трубки стал таким же, как и снаружи, а значит, давление воздуха должно быть таким же, как и давление ртути.
3. Обозначим температуру воздуха до изменения как \( T_1 \) (в градусах Цельсия). Внутри трубки у нас также есть ртуть. Обозначим ее начальную температуру как 17 градусов Цельсия. Пусть температура воздуха после изменения равна \( T_2 \).
4. Найдем изменение уровня ртути при изменении температуры. Для этого воспользуемся законом об объемно-температурном расширении и уравнением состояния ртути. Известно, что изменение объема ртути связано с изменением ее температуры следующим образом:
\[ \Delta V_{\text{ртуть}} = \beta V_0 \Delta T. \]
Где \( \beta \) — коэффициент объемного расширения ртути, \( V_0 \) — начальный объем ртути, а \( \Delta T \) — изменение температуры.
5. Так как ртуть находится в трубке, она занимает часть объема в трубке. Пусть \(\Delta V_{\text{трубка}}\) — изменение объема трубки, причиненное изменением объема ртути.
Тогда, если уровень ртути внутри трубки повысится (изначально он выше на 5 см), объем ртути увеличится, и, следовательно, уровень жидкости вослед изменит его высоту. Мы можем записать следующее соотношение:
\[ \Delta V_{\text{трубка}} = \beta (V_0 + \Delta V_{\text{ртуть}}) \Delta T. \]
6. Давление воздуха внутри и снаружи трубки должно быть одинаковым. Мы можем использовать уравнение состояния идеального газа для воздуха и ртути в данной ситуации:
\[ P_{\text{воздух}} = P_{\text{ртуть}}. \]
7. Пользуясь уравнением состояния идеального газа и учитывая, что плотность ртути \( \rho_{\text{ртуть}} \) больше плотности воздуха \( \rho_{\text{воздух}} \), получим:
\[ \rho_{\text{ртуть}} \cdot g \cdot y_{\text{трубка}} = \rho_{\text{воздух}} \cdot g \cdot y_{\text{атмосфера}}, \]
где \( g \) — ускорение свободного падения, \( y_{\text{трубка}} \) — высота столба ртути внутри трубки, \( y_{\text{атмосфера}} \) — высота столба ртути снаружи трубки.
8. Заменим плотность ртути и воздуха:
\[ \rho_{\text{ртуть}} \cdot g \cdot y_{\text{трубка}} = \rho_{\text{воздух}} \cdot g \cdot y_{\text{атмосфера}}. \]
9. Используя основной закон гидростатики, \( P = \rho \cdot g \cdot h \), и записав соотношение между начальным давлением воздуха и деформацией его столба из-за изменения температуры:
\[ P_{\text{воздух 1}} - \Delta P_{\text{воздух}} = P_{\text{ртуть 1}} - \Delta P_{\text{ртуть}}, \]
где \( \Delta P_{\text{воздух}} \) — изменение давления воздуха, \( \Delta P_{\text{ртуть}} \) — изменение давления ртути.
10. Подставим найденные соотношения в уравнение выше и получим:
\[ \rho_{\text{воздух}} \cdot g \cdot y_{\text{атмосфера}} - \Delta P_{\text{воздух}} = \rho_{\text{ртуть}} \cdot g \cdot y_{\text{трубка}} - \Delta P_{\text{ртуть}}. \]
11. Проведем некоторые преобразования уравнения:
\[ \Delta P_{\text{ртуть}} - \Delta P_{\text{воздух}} = \rho_{\text{воздух}} \cdot g \cdot (y_{\text{атмосфера}} - y_{\text{трубка}}). \]
12. Разобьем разность давлений на изменение давления ртути и изменение давления воздуха:
\[ \Delta P_{\text{ртуть}} = \Delta P_{\text{воздух}} + \rho_{\text{воздух}} \cdot g \cdot (y_{\text{атмосфера}} - y_{\text{трубка}}). \]
13. Воспользуемся уравнением состояния идеального газа:
\[ \Delta P_{\text{воздух}} = \rho_{\text{воздух}} \cdot g \cdot \Delta h_{\text{воздух}}, \]
где \( \Delta h_{\text{воздух}} \) — изменение высоты столба воздуха.
14. Подставим полученное выражение для изменения давления воздуха в уравнение:
\[ \Delta P_{\text{ртуть}} = \rho_{\text{воздух}} \cdot g \cdot \Delta h_{\text{воздух}} + \rho_{\text{воздух}} \cdot g \cdot (y_{\text{атмосфера}} - y_{\text{трубка}}). \]
15. Давление ртути зависит от ее плотности и высоты столба:
\[ P_{\text{ртуть 1}} + \Delta P_{\text{ртуть}} = P_{\text{ртуть 2}}. \]
16. Раскроем выражения для давления ртути:
\[ \rho_{\text{ртуть}} \cdot g \cdot y_{\text{трубка}} + \rho_{\text{воздух}} \cdot g \cdot \Delta h_{\text{воздух}} + \rho_{\text{воздух}} \cdot g \cdot (y_{\text{атмосфера}} - y_{\text{трубка}}) = \rho_{\text{ртуть}} \cdot g \cdot y_{\text{трубка}} + \rho_{\text{воздух}} \cdot g \cdot (y_{\text{атмосфера}} - y_{\text{ртути}}), \]
где \( y_{\text{ртути}} \) — высота столба ртути после изменения температуры.
17. Упростим эту формулу:
\[ \rho_{\text{воздух}} \cdot g \cdot \Delta h_{\text{воздух}} + \rho_{\text{воздух}} \cdot g \cdot (y_{\text{атмосфера}} - y_{\text{трубка}}) = \rho_{\text{воздух}} \cdot g \cdot (y_{\text{атмосфера}} - y_{\text{ртути}}). \]
18. Поскольку гравитационное ускорение \( g \) входит во все слагаемые, можно сократить его на обеих сторонах уравнения:
\[ \rho_{\text{воздух}} \cdot \Delta h_{\text{воздух}} + \rho_{\text{воздух}} \cdot (y_{\text{атмосфера}} - y_{\text{трубка}}) = \rho_{\text{воздух}} \cdot (y_{\text{атмосфера}} - y_{\text{ртути}}). \]
19. Разделим все части на плотность воздуха:
\[ \Delta h_{\text{воздух}} + y_{\text{атмосфера}} - y_{\text{трубка}} = y_{\text{атмосфера}} - y_{\text{ртути}}. \]
20. Упростим уравнение:
\[ \Delta h_{\text{воздух}} = y_{\text{ртути}} - y_{\text{трубка}}. \]
21. Окончательный ответ: Температуру воздуха следует повысить на количество градусов, которые нужны для изменения высоты столба ртути на величину от начальной высоты столба трубки \( y_{\text{трубка}} \) до высоты столба ртути \( y_{\text{ртути}} \).
\[ \Delta T = \Delta h_{\text{воздух}}. \]
И это будет ответ на нашу задачу.
1. Рассмотрим начальную ситуацию. Уровень ртути внутри трубки выше на 5 см при начальной длине незаполненной ртутью части трубки 50 см. Запишем это: \[ h_1 = 5 \, \text{см}, \quad l = 50 \, \text{см}. \]
2. Внутри трубки находится ртуть, а вокруг трубки — воздух. Если температура воздуха изменится, то из-за термического расширения произойдут изменения давления. Наша задача состоит в том, чтобы уровень ртути внутри трубки стал таким же, как и снаружи, а значит, давление воздуха должно быть таким же, как и давление ртути.
3. Обозначим температуру воздуха до изменения как \( T_1 \) (в градусах Цельсия). Внутри трубки у нас также есть ртуть. Обозначим ее начальную температуру как 17 градусов Цельсия. Пусть температура воздуха после изменения равна \( T_2 \).
4. Найдем изменение уровня ртути при изменении температуры. Для этого воспользуемся законом об объемно-температурном расширении и уравнением состояния ртути. Известно, что изменение объема ртути связано с изменением ее температуры следующим образом:
\[ \Delta V_{\text{ртуть}} = \beta V_0 \Delta T. \]
Где \( \beta \) — коэффициент объемного расширения ртути, \( V_0 \) — начальный объем ртути, а \( \Delta T \) — изменение температуры.
5. Так как ртуть находится в трубке, она занимает часть объема в трубке. Пусть \(\Delta V_{\text{трубка}}\) — изменение объема трубки, причиненное изменением объема ртути.
Тогда, если уровень ртути внутри трубки повысится (изначально он выше на 5 см), объем ртути увеличится, и, следовательно, уровень жидкости вослед изменит его высоту. Мы можем записать следующее соотношение:
\[ \Delta V_{\text{трубка}} = \beta (V_0 + \Delta V_{\text{ртуть}}) \Delta T. \]
6. Давление воздуха внутри и снаружи трубки должно быть одинаковым. Мы можем использовать уравнение состояния идеального газа для воздуха и ртути в данной ситуации:
\[ P_{\text{воздух}} = P_{\text{ртуть}}. \]
7. Пользуясь уравнением состояния идеального газа и учитывая, что плотность ртути \( \rho_{\text{ртуть}} \) больше плотности воздуха \( \rho_{\text{воздух}} \), получим:
\[ \rho_{\text{ртуть}} \cdot g \cdot y_{\text{трубка}} = \rho_{\text{воздух}} \cdot g \cdot y_{\text{атмосфера}}, \]
где \( g \) — ускорение свободного падения, \( y_{\text{трубка}} \) — высота столба ртути внутри трубки, \( y_{\text{атмосфера}} \) — высота столба ртути снаружи трубки.
8. Заменим плотность ртути и воздуха:
\[ \rho_{\text{ртуть}} \cdot g \cdot y_{\text{трубка}} = \rho_{\text{воздух}} \cdot g \cdot y_{\text{атмосфера}}. \]
9. Используя основной закон гидростатики, \( P = \rho \cdot g \cdot h \), и записав соотношение между начальным давлением воздуха и деформацией его столба из-за изменения температуры:
\[ P_{\text{воздух 1}} - \Delta P_{\text{воздух}} = P_{\text{ртуть 1}} - \Delta P_{\text{ртуть}}, \]
где \( \Delta P_{\text{воздух}} \) — изменение давления воздуха, \( \Delta P_{\text{ртуть}} \) — изменение давления ртути.
10. Подставим найденные соотношения в уравнение выше и получим:
\[ \rho_{\text{воздух}} \cdot g \cdot y_{\text{атмосфера}} - \Delta P_{\text{воздух}} = \rho_{\text{ртуть}} \cdot g \cdot y_{\text{трубка}} - \Delta P_{\text{ртуть}}. \]
11. Проведем некоторые преобразования уравнения:
\[ \Delta P_{\text{ртуть}} - \Delta P_{\text{воздух}} = \rho_{\text{воздух}} \cdot g \cdot (y_{\text{атмосфера}} - y_{\text{трубка}}). \]
12. Разобьем разность давлений на изменение давления ртути и изменение давления воздуха:
\[ \Delta P_{\text{ртуть}} = \Delta P_{\text{воздух}} + \rho_{\text{воздух}} \cdot g \cdot (y_{\text{атмосфера}} - y_{\text{трубка}}). \]
13. Воспользуемся уравнением состояния идеального газа:
\[ \Delta P_{\text{воздух}} = \rho_{\text{воздух}} \cdot g \cdot \Delta h_{\text{воздух}}, \]
где \( \Delta h_{\text{воздух}} \) — изменение высоты столба воздуха.
14. Подставим полученное выражение для изменения давления воздуха в уравнение:
\[ \Delta P_{\text{ртуть}} = \rho_{\text{воздух}} \cdot g \cdot \Delta h_{\text{воздух}} + \rho_{\text{воздух}} \cdot g \cdot (y_{\text{атмосфера}} - y_{\text{трубка}}). \]
15. Давление ртути зависит от ее плотности и высоты столба:
\[ P_{\text{ртуть 1}} + \Delta P_{\text{ртуть}} = P_{\text{ртуть 2}}. \]
16. Раскроем выражения для давления ртути:
\[ \rho_{\text{ртуть}} \cdot g \cdot y_{\text{трубка}} + \rho_{\text{воздух}} \cdot g \cdot \Delta h_{\text{воздух}} + \rho_{\text{воздух}} \cdot g \cdot (y_{\text{атмосфера}} - y_{\text{трубка}}) = \rho_{\text{ртуть}} \cdot g \cdot y_{\text{трубка}} + \rho_{\text{воздух}} \cdot g \cdot (y_{\text{атмосфера}} - y_{\text{ртути}}), \]
где \( y_{\text{ртути}} \) — высота столба ртути после изменения температуры.
17. Упростим эту формулу:
\[ \rho_{\text{воздух}} \cdot g \cdot \Delta h_{\text{воздух}} + \rho_{\text{воздух}} \cdot g \cdot (y_{\text{атмосфера}} - y_{\text{трубка}}) = \rho_{\text{воздух}} \cdot g \cdot (y_{\text{атмосфера}} - y_{\text{ртути}}). \]
18. Поскольку гравитационное ускорение \( g \) входит во все слагаемые, можно сократить его на обеих сторонах уравнения:
\[ \rho_{\text{воздух}} \cdot \Delta h_{\text{воздух}} + \rho_{\text{воздух}} \cdot (y_{\text{атмосфера}} - y_{\text{трубка}}) = \rho_{\text{воздух}} \cdot (y_{\text{атмосфера}} - y_{\text{ртути}}). \]
19. Разделим все части на плотность воздуха:
\[ \Delta h_{\text{воздух}} + y_{\text{атмосфера}} - y_{\text{трубка}} = y_{\text{атмосфера}} - y_{\text{ртути}}. \]
20. Упростим уравнение:
\[ \Delta h_{\text{воздух}} = y_{\text{ртути}} - y_{\text{трубка}}. \]
21. Окончательный ответ: Температуру воздуха следует повысить на количество градусов, которые нужны для изменения высоты столба ртути на величину от начальной высоты столба трубки \( y_{\text{трубка}} \) до высоты столба ртути \( y_{\text{ртути}} \).
\[ \Delta T = \Delta h_{\text{воздух}}. \]
И это будет ответ на нашу задачу.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
