На скільки разів зменшується сила притягання до Землі, коли космічний корабель віддаляється від поверхні на два земних

Чтобы решить эту задачу, нам нужно разобраться в взаимосвязи между силой притяжения и расстоянием между двумя объектами. Сила притяжения между двумя телами (например, Землей и космическим кораблем) зависит от их массы и расстояния между ними. Закон всемирного тяготения Ньютона формулирует это отношение:

\[F = G \cdot \dfrac{m_1 \cdot m_2}{r^2}\]

Где:
\(F\) - сила притяжения между двумя телами
\(G\) - гравитационная постоянная (\(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \cdot \text{кг}^{-1} \cdot \text{с}^{-2}\))
\(m_1\) и \(m_2\) - массы двух тел
\(r\) - расстояние между двумя телами

В нашей задаче одно тело - это Земля, и мы хотим узнать, как изменится сила притяжения, когда космический корабль отдаляется от поверхности Земли на два земных радиуса. Для упрощения расчетов можно предположить, что Земля - это шар, и расстояние между центром Земли и космическим кораблем равно 2 земным радиусам, что составляет \(2 \times 6.371 \times 10^6 \, \text{м}\).

Теперь подставим известные значения в уравнение:

\[F_1 = G \cdot \dfrac{m_1 \cdot m_2}{r_1^2}\]
\[F_2 = G \cdot \dfrac{m_1 \cdot m_2}{r_2^2}\]

где:
\(F_1\) - сила притяжения до отдаленного космического корабля
\(F_2\) - сила притяжения на поверхности Земли
\(r_1\) - начальное расстояние между космическим кораблем и центром Земли (2 земных радиуса)
\(r_2\) - конечное расстояние между космическим кораблем и центром Земли (0 земных радиусов)

Теперь рассмотрим отношение сил притяжения:

\(\dfrac{F_1}{F_2} = \dfrac{G \cdot \dfrac{m_1 \cdot m_2}{r_1^2}}{G \cdot \dfrac{m_1 \cdot m_2}{r_2^2}}\)

Сократим общие члены:

\(\dfrac{F_1}{F_2} = \dfrac{r_2^2}{r_1^2}\)

Подставим значения:

\(\dfrac{F_1}{F_2} = \dfrac{(0 \, \text{м})^2}{(2 \cdot 6.371 \times 10^6 \, \text{м})^2}\)

Вычисления показывают, что сила притяжения уменьшается в \(\dfrac{1}{4}\) раза при увеличении расстояния в два раза.