На скільки разів збільшилась довжина кола цього круга, якщо його площа збільшилась у 9 разів під час збільшення круга?

Для решения этой задачи нам нужно использовать формулы для определения площади и длины окружности круга.

Давайте обозначим исходную длину окружности как \(L_1\) и площадь как \(S_1\). После увеличения длины окружности в \(n\) раз, новая длина будет обозначаться как \(L_2\), а площадь после этого увеличения как \(S_2\).

Формула для площади круга:

\[S = \pi r^2\],

где \(S\) - площадь круга, а \(r\) - радиус этого круга.

Формула для длины окружности:

\[L = 2\pi r\].

Теперь давайте решим задачу.

1. Длина окружности прямо пропорциональна ее радиусу, то есть, если длина увеличивается в \(n\) раз, то радиус также увеличивается в \(n\) раз. Таким образом, у нас есть соотношение:

\[\frac{L_2}{L_1} = n.\]

2. Площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса. Известно, что площадь увеличилась в 9 раз. Поэтому у нас есть соотношение:

\[\frac{S_2}{S_1} = 9.\]

3. Используя формулы для площади и длины окружности, мы можем выразить радиус через длину окружности и площадь. Имеем:

\[r_1 = \frac{L_1}{2\pi}.\]

\[r_2 = \frac{L_2}{2\pi}.\]

4. Теперь мы можем совместить соотношения в пунктах 1, 2 и 3:

\[\frac{L_2}{L_1} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{\frac{L_2}{2\pi}}{\frac{L_1}{2\pi}}.\]

Упростим выражение, сокращая общие множители:

\[\frac{L_2}{L_1} = \frac{L_2}{L_1} \cdot 1 = \frac{L_2}{L_1} \cdot \frac{2\pi}{2\pi} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{\frac{L_2}{2\pi}}{\frac{L_1}{2\pi}} = \frac{9}{1} = 9.\]

Таким образом, длина окружности увеличилась в 9 раз.

Надеюсь, это логическое объяснение помогло вам понять, как мы пришли к ответу. Если у вас возникли еще вопросы, я буду рад помочь!