Какова вероятность того, что нить оборвется нечаще, чем дважды, на 100 станках, если вероятность обрыва нити на каждом

Чтобы найти вероятность того, что нить оборвется нечаще, чем дважды на 100 станках, нам нужно воспользоваться понятием биномиального распределения. В данном случае, каждое событие (обрыв нити на станке) является независимым и имеет одну и ту же вероятность \(p\) = 0,001.

Чтобы найти вероятность такого события, нам понадобится формула вероятности биномиального распределения:

\[P(X=k) = C(n,k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

Где:
\(P(X=k)\) - вероятность того, что событие произойдет ровно \(k\) раз,
\(C(n,k)\) - число сочетаний из \(n\) по \(k\) (так как порядок событий не имеет значения),
\(p\) - вероятность наступления события,
\(n\) - количество независимых событий.

В данном случае нам дано: \(p = 0,001\) (вероятность обрыва нити на одном станке), \(n = 100\) (количество станков) и мы хотим найти вероятность \(P(X \leq 2)\) (вероятность, что нить оборвется нечаще, чем дважды).

Для решения этой задачи нам нужно найти вероятности для \(k = 0\), \(k = 1\) и \(k = 2\), а затем сложить их.

\[P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)\]

Теперь найдем вероятности для каждого из этих случаев:

Для \(P(X = 0)\), \(k = 0\):

\[P(X = 0) = C(100,0) \cdot 0,001^0 \cdot (1-0,001)^{100-0}\]

Где \(C(100,0)\) - число сочетаний из 100 по 0, которое равно 1:

\[P(X = 0) = 1 \cdot 0,001^0 \cdot 0,999^{100} \approx 0,9048.\]

Для \(P(X = 1)\), \(k = 1\):

\[P(X = 1) = C(100,1) \cdot 0,001^1 \cdot (1-0,001)^{100-1}\]

Где \(C(100,1)\) - число сочетаний из 100 по 1, которое равно 100:

\[P(X = 1) = 100 \cdot 0,001^1 \cdot 0,999^{99} \approx 0,0905.\]

Для \(P(X = 2)\), \(k = 2\):

\[P(X = 2) = C(100,2) \cdot 0,001^2 \cdot (1-0,001)^{100-2}\]

Где \(C(100,2)\) - число сочетаний из 100 по 2, которое равно 4950:

\[P(X = 2) = 4950 \cdot 0,001^2 \cdot 0,999^{98} \approx 0,0055.\]

Теперь сложим все найденные вероятности:

\[P(X \leq 2) = 0,9048 + 0,0905 + 0,0055 \approx 1,0008.\]

Так как вероятность не может быть больше 1, округлим этот результат до одного:

\[P(X \leq 2) \approx 1.\]

Таким образом, вероятность того, что нить оборвется нечаще, чем дважды на 100 станках, составляет примерно 1. Это означает, что шансы на обрыв нити на каждом станке очень низкие.