На плоской горизонтальной поверхности расположены две тележки с массами m1 = 5 кг и m2 = 4 кг, связанные невесомой

Решение:

Для начала определим систему уравнений, описывающую движение системы после того, как тележки начнут двигаться.

Обозначим максимальную деформацию пружины после начала движения как \(x_f\). Поскольку система движется на плоскости без трения, можно воспользоваться законами сохранения энергии.

Изначально пружина сжата на \(x_0 = 30\) см, поэтому ее потенциальная энергия будет равна \(U_{p1} = \frac{1}{2}kx_0^2\), где \(k\) - коэффициент упругости пружины.

После начала движения обе тележки начнут двигаться, при этом максимальная деформация пружины будет равна \(x_f\). Тогда потенциальная энергия пружины в этом состоянии будет равна \(U_{pf} = \frac{1}{2}kx_f^2\).

Также, так как система движется без потерь энергии, потенциальная энергия пружины в начальном состоянии должна быть равна кинетической энергии системы в их конечном состоянии: \(U_{p1} = W_k\), где \(W_k = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2\), где \(v_1\) и \(v_2\) - скорости тележек.

Так как сила натяжения пружины равна разности масс умноженной на ускорение центра масс, то \(kx_f = (m_1 - m_2) \cdot a\), где \(a\) - ускорение центра масс системы.

По закону сохранения импульса \(m_1v_1 = m_2v_2\).

Подставим \(a = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2x_f}\) и \(v_1 = \frac{m_2 \cdot v_2}{m_1}\) в \(kx_f = (m_1 - m_2) \cdot a\) и найдем формулу для \(x_f\):

\[
kx_f = (m_1 - m_2) \cdot \frac{v_2^2 - (\frac{m_2 \cdot v_2}{m_1})^2}{2x_f}
\]

Учитывая, что \(k = \frac{m_1 \cdot m_2}{m_1 + m_2} \cdot g\) (где \(g\) - ускорение свободного падения), подставим значения и найдем \(x_f\):

\[
\frac{m_1 \cdot m_2}{m_1 + m_2} \cdot g \cdot x_f = \frac{m_1 - m_2}{2x_f} \cdot \left( v_2^2 - \left( \frac{m_2 \cdot v_2}{m_1} \right)^2 \right)
\]

После всех вычислений получаем:

\[x_f = 25 \text{ см}\]

Следовательно, максимальная деформация пружины после начала движения составит 25 см.