На отрезке, найдите максимальное и минимальное значение функции y=-x^3+9x^2-24x+10

Хорошо, рассмотрим задачу внимательно. Для нахождения максимального и минимального значений функции \(y = -x^3 + 9x^2 - 24x + 10\) на отрезке, мы можем использовать методы дифференциального исчисления. Сначала найдем производную функции \(y"\) и приравняем ее к нулю, чтобы найти точки экстремума:

\[y" = -3x^2 + 18x - 24\]

Решим уравнение \(-3x^2 + 18x - 24 = 0\) для нахождения точек экстремума:

\[-3(x^2 - 6x + 8) = 0\]
\[x^2 - 6x + 8 = 0\]

Теперь мы можем решить квадратное уравнение:

\[(x - 2)(x - 4) = 0\]

Отсюда получаем две точки экстремума: \(x_1 = 2\) и \(x_2 = 4\).

Далее, чтобы определить, является ли каждая точка экстремума максимумом или минимумом, мы можем проанализировать вторую производную функции. Найдем \(y""\), производную от \(y"\):

\[y"" = -6x + 18\]

Подставим значения \(x_1 = 2\) и \(x_2 = 4\) в \(y""\), чтобы определить, являются ли соответствующие точки экстремума максимумом или минимумом.

Для \(x_1 = 2\), подставим \(x_1\) в \(y""\):

\[y"" = -6 \cdot 2 + 18 = 6\]

Так как \(y""\) положительное число (\(6 > 0\)), точка \(x_1 = 2\) является точкой минимума функции.

Для \(x_2 = 4\), подставим \(x_2\) в \(y""\):

\[y"" = -6 \cdot 4 + 18 = -6\]

Так как \(y""\) отрицательное число (\(-6 < 0\)), точка \(x_2 = 4\) является точкой максимума функции.

Итак, мы нашли точки экстремума: минимум функции \(y = -x^3 + 9x^2 - 24x + 10\) достигается при \(x = 2\) и равен \(y_{\text{min}} = -18\), а максимум достигается при \(x = 4\) и равен \(y_{\text{max}} = 26\).

Таким образом, минимальное значение функции на отрезке равно -18, а максимальное значение равно 26.