На основе свойств комбинаторики, вычислите сумму и проверьте, верно ли полученное равенство, когда n=3;4

Конечно! Для начала рассмотрим задачу с n = 3. Мы должны вычислить сумму и проверить равенство.

Согласно свойствам комбинаторики, сумма всех биномиальных коэффициентов для данного n равна $2^n$.

Для n = 3, мы можем вычислить сумму следующим образом:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{0})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3})$$

Давайте вычислим каждый биномиальный коэффициент по отдельности:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{0})$ - это число сочетаний из 3 элементов, выбранных ни одним из них. Такое сочетание есть только одно - пустое множество. Таким образом, $(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{0})=1$.

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1})$ - это число сочетаний из 3 элементов, выбранных одним из них. В нашем случае мы можем выбрать один элемент из трех, поэтому $(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1})=3$.

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})$ - это число сочетаний из 3 элементов, выбранных двумя из них. У нас есть три элемента, и мы должны выбрать два из них. Это сочетание можно выразить как $(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})=3$.

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3})$ - это число сочетаний из 3 элементов, выбранных всеми тремя. В нашем случае у нас только одно сочетание - все три элемента, поэтому $(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3})=1$.

Теперь давайте сложим все полученные биномиальные коэффициенты:

$1+3+3+1=8$

Таким образом, сумма биномиальных коэффициентов для n = 3 равна 8.

Теперь давайте проверим равенство $2^n=2^3=8$. Видим, что наше полученное значение суммы и выражение $2^n$ равны, следовательно, равенство соблюдается.

Теперь рассмотрим задачу с n = 4. Вычислим сумму и проверим равенство.

Аналогично предыдущему рассуждению, сумма всех биномиальных коэффициентов для n равна $2^n$.

Для n = 4, мы можем вычислить сумму:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{0})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4})$

Вычислим биномиальные коэффициенты:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{0})=1$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1})=4$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2})=6$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3})=4$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4})=1$

Сложим все полученные значения:

$1+4+6+4+1=16$

Таким образом, сумма биномиальных коэффициентов для n = 4 равна 16.

Теперь проверим равенство $2^n=2^4=16$. Значения суммы и выражения равны, поэтому равенство верно.

Итак, мы вычислили сумму биномиальных коэффициентов для n = 3 и n = 4 и проверили, что полученные значения совпадают с $2^n$.