На основе свойств комбинаторики, вычислите сумму и проверьте, верно ли полученное равенство, когда n=3;4

Конечно! Для начала рассмотрим задачу с n = 3. Мы должны вычислить сумму и проверить равенство.

Согласно свойствам комбинаторики, сумма всех биномиальных коэффициентов для данного n равна \(2^n\).

Для n = 3, мы можем вычислить сумму следующим образом:

\[\binom{3}{0} + \binom{3}{1} + \binom{3}{2} + \binom{3}{3}\]

Давайте вычислим каждый биномиальный коэффициент по отдельности:

\(\binom{3}{0}\) - это число сочетаний из 3 элементов, выбранных ни одним из них. Такое сочетание есть только одно - пустое множество. Таким образом, \(\binom{3}{0} = 1\).

\(\binom{3}{1}\) - это число сочетаний из 3 элементов, выбранных одним из них. В нашем случае мы можем выбрать один элемент из трех, поэтому \(\binom{3}{1} = 3\).

\(\binom{3}{2}\) - это число сочетаний из 3 элементов, выбранных двумя из них. У нас есть три элемента, и мы должны выбрать два из них. Это сочетание можно выразить как \(\binom{3}{2} = 3\).

\(\binom{3}{3}\) - это число сочетаний из 3 элементов, выбранных всеми тремя. В нашем случае у нас только одно сочетание - все три элемента, поэтому \(\binom{3}{3} = 1\).

Теперь давайте сложим все полученные биномиальные коэффициенты:

\(1 + 3 + 3 + 1 = 8\)

Таким образом, сумма биномиальных коэффициентов для n = 3 равна 8.

Теперь давайте проверим равенство \(2^n = 2^3 = 8\). Видим, что наше полученное значение суммы и выражение \(2^n\) равны, следовательно, равенство соблюдается.

Теперь рассмотрим задачу с n = 4. Вычислим сумму и проверим равенство.

Аналогично предыдущему рассуждению, сумма всех биномиальных коэффициентов для n равна \(2^n\).

Для n = 4, мы можем вычислить сумму:

\(\binom{4}{0} + \binom{4}{1} + \binom{4}{2} + \binom{4}{3} + \binom{4}{4}\)

Вычислим биномиальные коэффициенты:

\(\binom{4}{0} = 1\)

\(\binom{4}{1} = 4\)

\(\binom{4}{2} = 6\)

\(\binom{4}{3} = 4\)

\(\binom{4}{4} = 1\)

Сложим все полученные значения:

\(1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16\)

Таким образом, сумма биномиальных коэффициентов для n = 4 равна 16.

Теперь проверим равенство \(2^n = 2^4 = 16\). Значения суммы и выражения равны, поэтому равенство верно.

Итак, мы вычислили сумму биномиальных коэффициентов для n = 3 и n = 4 и проверили, что полученные значения совпадают с \(2^n\).