На основе свойств комбинаторики, вычислите сумму и проверьте, верно ли полученное равенство, когда n=3;4

На основе свойств комбинаторики, вычислите сумму и проверьте, верно ли полученное равенство, когда n=3;4.
Zolotoy_Gorizont_9287

Zolotoy_Gorizont_9287

Конечно! Для начала рассмотрим задачу с n = 3. Мы должны вычислить сумму и проверить равенство.

Согласно свойствам комбинаторики, сумма всех биномиальных коэффициентов для данного n равна 2n.

Для n = 3, мы можем вычислить сумму следующим образом:

(30)+(31)+(32)+(33)

Давайте вычислим каждый биномиальный коэффициент по отдельности:

(30) - это число сочетаний из 3 элементов, выбранных ни одним из них. Такое сочетание есть только одно - пустое множество. Таким образом, (30)=1.

(31) - это число сочетаний из 3 элементов, выбранных одним из них. В нашем случае мы можем выбрать один элемент из трех, поэтому (31)=3.

(32) - это число сочетаний из 3 элементов, выбранных двумя из них. У нас есть три элемента, и мы должны выбрать два из них. Это сочетание можно выразить как (32)=3.

(33) - это число сочетаний из 3 элементов, выбранных всеми тремя. В нашем случае у нас только одно сочетание - все три элемента, поэтому (33)=1.

Теперь давайте сложим все полученные биномиальные коэффициенты:

1+3+3+1=8

Таким образом, сумма биномиальных коэффициентов для n = 3 равна 8.

Теперь давайте проверим равенство 2n=23=8. Видим, что наше полученное значение суммы и выражение 2n равны, следовательно, равенство соблюдается.

Теперь рассмотрим задачу с n = 4. Вычислим сумму и проверим равенство.

Аналогично предыдущему рассуждению, сумма всех биномиальных коэффициентов для n равна 2n.

Для n = 4, мы можем вычислить сумму:

(40)+(41)+(42)+(43)+(44)

Вычислим биномиальные коэффициенты:

(40)=1

(41)=4

(42)=6

(43)=4

(44)=1

Сложим все полученные значения:

1+4+6+4+1=16

Таким образом, сумма биномиальных коэффициентов для n = 4 равна 16.

Теперь проверим равенство 2n=24=16. Значения суммы и выражения равны, поэтому равенство верно.

Итак, мы вычислили сумму биномиальных коэффициентов для n = 3 и n = 4 и проверили, что полученные значения совпадают с 2n.
Знаешь ответ?
Задать вопрос
Привет!
hello