На основании пирамиды sabcd лежит трапеция abcd, у которой основания ad и bc, а угол при вершине a — прямой. При этом

а) Чтобы доказать, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую ad и середину m ребра sc, является прямоугольником, нам нужно показать, что противоположные стороны этого сечения параллельны и равны друг другу.

Посмотрим на данный момент на пирамиду sabcd. У нас есть прямоугольная трапеция abcd, где основания ad и bc, и угол при вершине a — прямой. Мы также знаем, что bc = 2ad.

Сначала рассмотрим плоскость, проходящую через прямую ad и середину m ребра sc. Поскольку m - середина ребра sc, отрезок sm равен отрезку mc. Таким образом, мы получаем следующие равенства длин сторон сечения пирамиды: sm = mc.

Также, поскольку ad и bc — основания трапеции abcd, они параллельны. Подобно тому, сечение пирамиды, проходящее через эти две основания, будет параллельно им.

Таким образом, мы доказали, что прямоугольник smcd — сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую ad и середину m ребра sc.

б) Чтобы найти косинус угла между прямыми am и cd, нам нужно знать значение ad и sa. У нас также есть информация, что ad = ab и sa.

Поскольку у нас есть прямоугольная трапеция abcd, где основания ad и bc, а угол при вершине a — прямой, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения стороны ac трапеции.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов в прямоугольном треугольнике. В нашем случае, гипотенуза ac квадрат равен сумме квадратов катетов ad и bc.

\[ac^2 = ad^2 + bc^2\]

Учитывая, что bc = 2ad, заменим bc в уравнении:

\[ac^2 = ad^2 + (2ad)^2\]
\[ac^2 = ad^2 + 4ad^2\]
\[ac^2 = 5ad^2\]

Отсюда мы можем найти длину ac:

\[ac = \sqrt{5ad^2} = ad\sqrt{5}\]

Теперь, чтобы найти косинус угла между прямыми am и cd, мы можем использовать формулу косинуса:

\[\cos\theta = \frac{am}{ac}\]

Так как мы знаем, что ad = ab и sa, мы также можем найти длину am:

\[am = \sqrt{ab^2 + sa^2} = \sqrt{ad^2 + sa^2}\]

Теперь мы можем найти косинус угла \(\theta\):

\[\cos\theta = \frac{\sqrt{ad^2 + sa^2}}{ad\sqrt{5}}\]

Таким образом, мы получили косинус угла между прямыми am и cd.