На одинаковом расстоянии друг от друга вокруг круга находятся 12 точек, которые подписаны числами 1, 2, 3, 1, 2

Для решения данной задачи, давайте разобьем ее на несколько шагов.

Шаг 1: Определение количества комбинаций точек
У нас есть 12 точек, но каждую точку мы можем использовать только один раз при построении треугольника. Тогда нам нужно определить количество уникальных комбинаций из трех точек, которые могут быть выбраны из этих 12 точек. Это можно сделать с помощью формулы сочетания. Формула сочетания определяет количество комбинаций, которые можно получить из данного числа элементов. В нашем случае, мы можем использовать формулу сочетания из 12 по 3:

\[
C_{12}^{3} = \frac{12!}{3!(12-3)!}
\]

where \(C_{12}^{3}\) обозначает количество комбинаций выбора 3 элементов из 12, и "!" обозначает факториал.

Расчет даст нам:

\[
C_{12}^{3} = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220
\]

Таким образом, у нас есть 220 уникальных комбинаций точек.

Шаг 2: Определение количества остроугольных треугольников
Теперь, когда у нас есть количество уникальных комбинаций точек, давайте определим, сколько из них образуют остроугольные треугольники.

Для того чтобы треугольник был остроугольным, все его углы должны быть меньше 90 градусов. Рассмотрим треугольники, образованные каждой из уникальных комбинаций точек.

Всего есть 12 точек, и чтобы построить треугольник, нам нужно выбрать 3 из них. Давайте обратим внимание, что при выборе трех точек из наших 12, у нас есть несколько случаев, когда треугольник не может быть остроугольным:

1) Если в треугольнике есть повторяющиеся точки, то углы могут иметь максимальное значение 180 градусов, что делает треугольник тупоугольным.
2) Если все три точки лежат на одной прямой, то углы будут равны 0 или 180 градусов, в зависимости от порядка следования точек, что делает треугольник вырожденным.

Таким образом, чтобы найти количество остроугольных треугольников, мы должны найти количество комбинаций, в которых точки не повторяются и не лежат на одной прямой.

Шаг 3: Поиск количества остроугольных треугольников
Давайте рассмотрим каждый из случаев, когда мы не можем построить остроугольный треугольник.
- Повторяющиеся точки: У нас есть три повторенные точки с номерами 1, 2 и 3. Это означает, что у нас есть 4 комбинации с повторяющимися точками (1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1) и (3, 3, 3).
- Три точки на одной прямой: Так как точки находятся на круге и равноотстоят друг от друга, это исключает возможность, что три точки находятся на одной прямой.

Теперь давайте найдем количество комбинаций, которые соответствуют обоим условиям: нет повторяющихся точек и нет трех точек на одной прямой.

У нас было 220 уникальных комбинаций точек, и нам нужно вычесть 4 комбинации с повторяющимися точками, чтобы исключить треугольники с тупыми углами. Таким образом, количество комбинаций точек для остроугольных треугольников равно:

\(220 - 4 = 216\)

Значит, мы можем построить 216 остроугольных треугольников, используя данные 12 точек.

Окончательный ответ: Мы можем построить 216 остроугольных треугольников, используя данные точки.