На малюнку 63 є два кола з спільним центром О. До меншого кола проведені перпендикулярні дотичні DE і

Для решения данной задачи нам понадобится использовать некоторые свойства окружностей и перпендикуляров.

Поскольку дотичная к окружности проведена из ее центра, то она будет являться радиусом окружности в точке касания. Таким образом, отрезок DE будет радиусом меньшего круга в точке м.

Также у нас дан радиус меньшего круга, но не дана длина отрезка NE. Давайте обозначим это расстояние как x.

Используя свойство перпендикуляров, мы можем сделать следующие выводы. Так как DE и KP перпендикулярны, то случайный отрезок, проведенный из точки пересечения, будет делить каждую из этих дотичных на две равные части. Пусть M будет точкой пересечения DE и KP, тогда мы можем сказать, что DM = ME и KM = MP.

У нас есть данная длина ND, равная 3 см. В нашем случае, ND будет радиусом большего круга, который является большим кругом изображенным на рисунке.

Теперь мы можем составить уравнение для нахождения x. Величина NE будет состоять из отрезка DM и отрезка MP. Таким образом, мы можем записать:

NE = DM + MP

Исходя из свойств перпендикуляров, DM и MP равны половине соответствующих отрезков. То есть,

DM = \(\frac{1}{2}\) * DE,
MP = \(\frac{1}{2}\) * KP

Используя полученные равенства и свойства радиусов окружностей, мы можем записать:

NE = \(\frac{1}{2}\) * DE + \(\frac{1}{2}\) * KP

Теперь давайте рассмотрим отношение между DE и KP. Так как DE и KP являются дотичными к меньшему кругу, они образуют прямой угол на его радиусе. Из свойств прямоугольного треугольника, гипотенуза (в данном случае DE) в квадрате равна сумме квадратов катетов (в данном случае KP и MP). Мы можем записать:

DE^2 = KP^2 + MP^2

Однако нам не даны значения DE, KP и MP, поэтому мы должны их выразить через известные величины.

Рассмотрим треугольник KPM. Он является прямоугольным треугольником, а KM является его гипотенузой. Используя теорему Пифагора, мы можем записать:

KP^2 = KM^2 - MP^2

Но нам не дано значение KM. Однако мы знаем, что KM равен радиусу меньшего круга и, следовательно, равен длине основания NM. Таким образом, мы можем записать:

KM = NM = ND - DM

Теперь у нас есть выражение для KP^2 в терминах известных величин:

KP^2 = (ND - DM)^2 - MP^2

Теперь мы можем подставить найденные выражения для KP^2 и MP^2 в равенство для DE^2:

DE^2 = (ND - DM)^2 - MP^2 + MP^2

DE^2 = (ND - DM)^2

Теперь мы можем выразить DM через известные величины. Используя равенство DM = \(\frac{1}{2}\) * DE, мы можем записать:

DE^2 = (ND - \(\frac{1}{2}\) * DE)^2

DE^2 = (ND^2 - ND * DE + \(\frac{1}{4}\) * DE^2)

Теперь давайте решим это уравнение для DE. Раскроем квадрат в правой части уравнения:

DE^2 = ND^2 - ND * DE + \(\frac{1}{4}\) * DE^2

\(frac{3}{4}\) * DE^2 = ND^2 - ND * DE

\(frac{3}{4}\) * DE^2 + ND * DE - ND^2 = 0

Это квадратное уравнение относительно DE. Решим его, используя формулу дискриминанта:

D = (ND)^2 - 4 * \(frac{3}{4}\) * (-ND^2)

D = ND^2 + 3 * ND^2

D = 4 * ND^2

Теперь раскроем формулу дискриминанта:

DE = \(frac{-ND \pm \sqrt{D}}{2 * \(frac{3}{4}\)}\)

DE = \(frac{-ND \pm \sqrt{4 * ND^2}}{2 * \(frac{3}{4}\)}\)

DE = \(frac{-ND \pm 2 * ND}{2 * \(frac{3}{4}\)}\)

Теперь можем упростить это выражение:

DE = \(frac{-ND + 2 * ND}{2 * \(frac{3}{4}\)}\) (так как отрицательный корень не имеет физического смысла)

DE = \(frac{ND}{2 * \(frac{3}{4}\)}\)

DE = \(frac{4 * ND}{2 * 3}\)

DE = \(frac{2 * ND}{3}\)

Таким образом, длина отрезка NE равна \(2 * ND\) или в нашем случае \(2 * 3 = 6\) см.