На кубе abcda1b1c1d1, точки n и m расположены на ребрах b1a1 и a1d1 соответственно, так что b1n: na1 = 1:4 и a1m:md1

Давайте начнем с построения рисунка, чтобы лучше понять данную задачу.

Мы имеем куб ABCDA1B1C1D1, где точки N и M расположены на ребрах B1A1 и A1D1 соответственно. Заданы отношения B1N : NA1 = 1 : 4 и A1M : MD1 = 1 : 4.

Для удобства обозначим длину ребра куба через "a". Теперь, чтобы решить эту задачу и найти косинус угла α между прямыми BN и AM, нам понадобится использовать геометрический подход.

Шаг 1: Первым делом, найдем длину отрезка BN. Учитывая, что B1N : NA1 = 1 : 4, мы можем записать, что длина BN равна (1/5) от длины ребра куба. То есть, BN = (1/5)a.

Шаг 2: Затем, найдем длину отрезка AM. Учитывая, что A1M : MD1 = 1 : 4, мы можем записать, что длина AM равна (1/5) от длины ребра куба. То есть, AM = (1/5)a.

Шаг 3: Теперь, чтобы найти косинус угла α между прямыми BN и AM, мы воспользуемся формулой для косинуса угла. Формула гласит: cos(α) = (BN · AM) / (|BN| · |AM|), где "|" обозначает длину отрезка.

Подставим наши значения: cos(α) = ((1/5)a) · ((1/5)a) / (|BN| · |AM|).

Шаг 4: Нам осталось найти значения длин отрезков |BN| и |AM|. Ранее мы нашли, что |BN| = (1/5)a и |AM| = (1/5)a.

Подставим эти значения в нашу формулу для косинуса угла α: cos(α) = ((1/5)a) · ((1/5)a) / ((1/5)a · (1/5)a).

Выполним вычисления:

cos(α) = (1/25)a^2 / (1/25)a^2
= (1/25)a^2 · (25/1)a^2
= a^2 / a^2
= 1.

Таким образом, мы получаем, что косинус угла α между прямыми BN и AM равен 1.

Надеюсь, это решение понятно и полностью отвечает на ваш вопрос. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!