На кубе ABCDA1B1C1D1 даны точки N и M на ребрах B1A1 и A1D1 соответственно, с отношением B1N:NA1=1:3 и A1M:MD1=1:4

Чтобы решить данную задачу, давайте разобьем ее на несколько шагов для большей ясности.

Шаг 1: Находим координаты точек N и M.
Рассмотрим ребро B1A1. По условию, отношение B1N к NA1 равно 1:3. Значит, точка N находится на отрезке B1A1 так, что положение точки N относительно точки B1 составляет 1/4 от всей длины отрезка. Аналогично, точка M находится на ребре A1D1 так, что расстояние от точки M до точки A1 составляет 1/5 от всей длины отрезка.

Таким образом, координаты точки N будут (1/4, 0, 0), так как точка B1 находится в начале координат. Координаты точки M будут (1, 0, 1/5), так как точка A1 находится в конце ребра B1A1.

Шаг 2: Находим векторы BN и AM.
Чтобы найти вектор BN, вычитаем координаты точки N из координат точки B1:
\[\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{B1N} = (1/4, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1/4, 0, 0)\]

Аналогично, для вектора AM, вычитаем координаты точки M из координат точки A1:
\[\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{A1M} = (1, 0, 1/5) - (1, 0, 0) = (0, 0, 1/5)\]

Шаг 3: Находим скалярное произведение векторов BN и AM.
Скалярное произведение двух векторов определено как:
\[\overrightarrow{BN} \cdot \overrightarrow{AM} = |\overrightarrow{BN}| |\overrightarrow{AM}| \cos(\alpha)\]

где \(|\overrightarrow{BN}|\) и \(|\overrightarrow{AM}|\) - длины векторов BN и AM соответственно, \(\cos(\alpha)\) - косинус угла между векторами BN и AM.

Длина вектора BN:
\[|\overrightarrow{BN}| = \sqrt{(1/4)^2 + 0^2 + 0^2} = 1/4\]

Длина вектора AM:
\[|\overrightarrow{AM}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (1/5)^2} = 1/5\]

Тогда уравнение принимает вид:
\[\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} \cos(\alpha) = \overrightarrow{BN} \cdot \overrightarrow{AM}\]

или
\[\frac{1}{20} \cos(\alpha) = \overrightarrow{BN} \cdot \overrightarrow{AM}\]

Шаг 4: Находим косинус угла \(\alpha\).
Для этого разделим обе части уравнения на \(\frac{1}{20}\):
\[\cos(\alpha) = 20(\overrightarrow{BN} \cdot \overrightarrow{AM})\]

Теперь подставим значения векторов BN и AM:
\[\cos(\alpha) = 20 \left( \frac{1}{4} \cdot 0 \cdot \frac{1}{5} \right) = 0\]

Таким образом, косинус угла \(\alpha\) равен 0.

В итоге, косинус угла \(\alpha\) между прямыми BN и AM при длине ребра куба, равной 1 единице измерения, равен 0.