На клетчатой плоскости с квадратными клетками размером 1×1 нарисован прямоугольник, ограниченный линиями сетки

Для доказательства этого утверждения будем использовать метод математической индукции.

1. Базовый шаг:
Рассмотрим простейший случай, когда N = 1. В этом случае у нас есть только один прямоугольник, и мы можем окрасить его так, чтобы покрытая ими область представляла собой прямоугольник площади, делящейся нацело. Таким образом, базовый шаг выполнен.

2. Предположение индукции:
Предположим, что для некоторого N = k утверждение верно, то есть существует возможность окрасить k прямоугольников таким образом, чтобы покрытая ими область представляла собой прямоугольник площади, делящейся нацело.

3. Шаг индукции:
Докажем, что утверждение верно для N = k + 1. Для этого рассмотрим случай, когда у нас есть k прямоугольников, окрашенных таким образом, что покрываемая ими область представляет собой прямоугольник площади, делящейся нацело. Теперь нам нужно добавить один дополнительный прямоугольник к разрезу.

Рассмотрим два возможных случая:
3.1) Дополнительный прямоугольник является горизонтальным.
В этом случае мы можем просто добавить горизонтальный прямоугольник к уже существующему прямоугольнику площади, делящейся нацело. Таким образом, обновленная площадь останется делящейся нацело.

3.2) Дополнительный прямоугольник является вертикальным.
В этом случае нам нужно немного более сложное рассуждение. Предположим, что дополнительный прямоугольник имеет ширину w и высоту h. Пусть общая площадь k прямоугольников равна a, а площадь дополнительного прямоугольника равна b.
Тогда общая площадь k + 1 прямоугольника равна a + b. Так как a деляется нацело, а b также деляется нацело (так как ширина и высота прямоугольника целочисленные значения), то a + b также будет деляться нацело.

Таким образом, в обоих случаях мы можем доказать, что добавление дополнительного прямоугольника не повлияет на то, что покрываемая ими область представляет собой прямоугольник площади, делящейся нацело. Таким образом, шаг индукции выполнен.

Итак, базовый шаг выполнен, предположение индукции сделано и шаг индукции выполнен. Следовательно, по принципу математической индукции утверждение верно для всех N.

Утверждение заключается в том, что существует возможность окрасить один или несколько из N прямоугольников таким образом, чтобы покрытая ими область представляла собой прямоугольник площади, делящейся нацело.