На какую высоту над Землей поднялся космический корабль, если ускорение свободного падения уменьшилось до 2,45 м/c^2?

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся законами гравитации и движения тел в свободном падении.

Ускорение свободного падения напрямую связано с массой и расстоянием от центра Земли. По формуле гравитационного ускорения \(g = \frac{{GM}}{{R^2}}\), где \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса Земли, а \(R\) - расстояние от центра Земли до некоторой точки.

Из условия задачи нам известно, что ускорение свободного падения в данном случае равно 2,45 м/с\(^2\). Подставив эту величину в формулу ускорения свободного падения и известный радиус Земли (\(R = 6400\) км), мы можем найти расстояние до точки, где находится космический корабль.

У нас есть уравнение \(2,45 = \frac{{GM}}{{R^2}}\), где нужно найти \(M\).

Чтобы решить уравнение, нам понадобится значение гравитационной постоянной \(G\), которая равна \(6,67430 \times 10^{-11}\) м\(^3\)/(кг \cdot с\(^2\)). Подставим известные значения:

\[2,45 = \frac{{(6,67430 \times 10^{-11}) \cdot M}}{{(6400 \times 10^3)^2}}\]

Далее решим это уравнение относительно \(M\).

\[
2,45 \times (6400 \times 10^3)^2 = 6,67430 \times 10^{-11} \times M
\]

\[
M = \frac{{2,45 \times (6400 \times 10^3)^2}}{{6,67430 \times 10^{-11}}}
\]

\[
M \approx 1,24 \times 10^{23} \, \text{кг}
\]

Теперь, когда у нас есть масса Земли (\(M\)), мы можем найти высоту, на которую поднялся космический корабль. Для этого воспользуемся законом сохранения энергии.

Потенциальная энергия тела в гравитационном поле равна произведению его массы (\(m\)), ускорения свободного падения (\(g\)) и высоты подъёма (\(h\)). Таким образом, у нас есть уравнение: \(m \cdot g \cdot h\).

Масса космического корабля нам неизвестна, но мы можем использовать отношение \(M = m + m_{\text{корабль}}\), где \(M\) - масса Земли, а \(m_{\text{корабль}}\) - масса космического корабля.

Теперь мы можем записать уравнение для потенциальной энергии в начальном и конечном состоянии:

\[m \cdot g \cdot h = (m + m_{\text{корабль}}) \cdot g \cdot (h + R)\]

Подставим значения: \(g = 2,45 \, \text{м/с}^2\), \(R = 6400 \times 10^3\) м и \(M \approx 1,24 \times 10^{23}\) кг.

\[m \cdot 2,45 \cdot h = (m + m_{\text{корабль}}) \cdot 2,45 \cdot (h + 6400 \times 10^3)\]

Упростим это уравнение, разделив обе части на 2,45:

\[m \cdot h = (m + m_{\text{корабль}}) \cdot (h + 6400 \times 10^3)\]

Раскроем скобки:

\[m \cdot h = m \cdot h + m \cdot 6400 \times 10^3 + m_{\text{корабль}} \cdot h + m_{\text{корабль}} \cdot 6400 \times 10^3\]

Mы можем упростить это уравнение, так как \(m \cdot h\) находится в обоих частях уравнения:

\[0 = m \cdot 6400 \times 10^3 + m_{\text{корабль}} \cdot h + m_{\text{корабль}} \cdot 6400 \times 10^3\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(h\):

\[h = -\frac{{m \cdot 6400 \times 10^3 + m_{\text{корабль}} \cdot 6400 \times 10^3}}{{m_{\text{корабль}}}}\]

Известно, что масса космического корабля \(m_{\text{корабль}}\) может быть очень малой по сравнению с массой Земли. Это означает, что \(m_{\text{корабль}} \cdot 6400 \times 10^3\) будет значительно меньше, чем \(m \cdot 6400 \times 10^3\). Поэтому мы можем исключить \(m_{\text{корабль}}\) из числителя:

\[h \approx -\frac{{m \cdot 6400 \times 10^3}}{{m_{\text{корабль}}}}\]

Так как \(m_{\text{корабль}}\) стремится к нулю, \(h\) будет стремиться к бесконечности. Это значит, что космический корабль поднялся на бесконечно большую высоту над Землей.

Однако нужно отметить, что в реальности масса космического корабля не является нулевой, и обычно космические корабли достигают орбиты Земли на высоте около 200 км.