На какую высоту над Землей поднялся космический корабль, если ускорение свободного падения уменьшилось до 2,45 м/c^2?

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся законами гравитации и движения тел в свободном падении.

Ускорение свободного падения напрямую связано с массой и расстоянием от центра Земли. По формуле гравитационного ускорения $g=\frac{GM}{R^2}$, где $G$ - гравитационная постоянная, $M$ - масса Земли, а $R$ - расстояние от центра Земли до некоторой точки.

Из условия задачи нам известно, что ускорение свободного падения в данном случае равно 2,45 м/с${}^2$. Подставив эту величину в формулу ускорения свободного падения и известный радиус Земли ($R=6400$ км), мы можем найти расстояние до точки, где находится космический корабль.

У нас есть уравнение $2,45=\frac{GM}{R^2}$, где нужно найти $M$.

Чтобы решить уравнение, нам понадобится значение гравитационной постоянной $G$, которая равна $6,67430\times {10}^{-11}$ м${}^3$/(кг \cdot с${}^2$). Подставим известные значения:

$$2,45=\frac{(6,67430\times {10}^{-11})\cdot M}{(6400\times {10}^3{)}^2}$$

Далее решим это уравнение относительно $M$.

$$2,45\times (6400\times {10}^3{)}^2=6,67430\times {10}^{-11}\times M$$

$$M=\frac{2,45\times (6400\times {10}^3{)}^2}{6,67430\times {10}^{-11}}$$

$$M\approx 1,24\times {10}^{23}\text{кг}$$

Теперь, когда у нас есть масса Земли ($M$), мы можем найти высоту, на которую поднялся космический корабль. Для этого воспользуемся законом сохранения энергии.

Потенциальная энергия тела в гравитационном поле равна произведению его массы ($m$), ускорения свободного падения ($g$) и высоты подъёма ($h$). Таким образом, у нас есть уравнение: $m\cdot g\cdot h$.

Масса космического корабля нам неизвестна, но мы можем использовать отношение $M=m+m_{\text{корабль}}$, где $M$ - масса Земли, а $m_{\text{корабль}}$ - масса космического корабля.

Теперь мы можем записать уравнение для потенциальной энергии в начальном и конечном состоянии:

$$m\cdot g\cdot h=(m+m_{\text{корабль}})\cdot g\cdot (h+R)$$

Подставим значения: $g=2,45{\text{м/с}}^2$, $R=6400\times {10}^3$ м и $M\approx 1,24\times {10}^{23}$ кг.

$$m\cdot 2,45\cdot h=(m+m_{\text{корабль}})\cdot 2,45\cdot (h+6400\times {10}^3)$$

Упростим это уравнение, разделив обе части на 2,45:

$$m\cdot h=(m+m_{\text{корабль}})\cdot (h+6400\times {10}^3)$$

Раскроем скобки:

$$m\cdot h=m\cdot h+m\cdot 6400\times {10}^3+m_{\text{корабль}}\cdot h+m_{\text{корабль}}\cdot 6400\times {10}^3$$

Mы можем упростить это уравнение, так как $m\cdot h$ находится в обоих частях уравнения:

$$0=m\cdot 6400\times {10}^3+m_{\text{корабль}}\cdot h+m_{\text{корабль}}\cdot 6400\times {10}^3$$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно $h$:

$$h=-\frac{m\cdot 6400\times {10}^3+m_{\text{корабль}}\cdot 6400\times {10}^3}{m_{\text{корабль}}}$$

Известно, что масса космического корабля $m_{\text{корабль}}$ может быть очень малой по сравнению с массой Земли. Это означает, что $m_{\text{корабль}}\cdot 6400\times {10}^3$ будет значительно меньше, чем $m\cdot 6400\times {10}^3$. Поэтому мы можем исключить $m_{\text{корабль}}$ из числителя:

$$h\approx -\frac{m\cdot 6400\times {10}^3}{m_{\text{корабль}}}$$

Так как $m_{\text{корабль}}$ стремится к нулю, $h$ будет стремиться к бесконечности. Это значит, что космический корабль поднялся на бесконечно большую высоту над Землей.

Однако нужно отметить, что в реальности масса космического корабля не является нулевой, и обычно космические корабли достигают орбиты Земли на высоте около 200 км.