На какую величину нагрелась железная пластина под действием падения молотка массой 900 г с высоты девятиэтажного

Задача 1:
Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии. При падении молотка с высоты \(h\) его потенциальная энергия превращается в кинетическую энергию и теплоту, нагревая пластину. Математически это можно представить следующим образом:

\[
m_1 g h = \frac{m_2 v^2}{2} + q
\]

где:
\(m_1\) - масса молотка (900 г = 0.9 кг),
\(m_2\) - масса пластины (3 кг),
\(g\) - ускорение свободного падения (9.8 м/с\(^2\)),
\(h\) - высота падения молотка (9 этажей \(\times\) 3 м/этаж = 27 м),
\(v\) - скорость молотка при ударе,
\(q\) - выделенная при ударе теплота.

Для определения скорости молотка \(v\) воспользуемся законом сохранения энергии в отдельно взятой точке молотка:

\[
m_1 g h = \frac{m_1 v^2}{2}
\]

Решая эту формулу относительно \(v\), получаем:

\[
v = \sqrt{2gh}
\]

Подставим это значение скорости в первое уравнение и решим его относительно выделившейся при ударе теплоты \(q\):

\[
m_1 g h = \frac{m_2 (\sqrt{2gh})^2}{2} + q
\]

\[
q = m_1 g h - \frac{m_2 g h}{2}
\]

Далее, учтем, что израсходовано 25% от выделившейся при ударе теплоты:

\[
q_{\text{факт}} = 0.75q
\]

Теперь мы можем рассчитать температурный перепад пластины при помощи уравнения:

\[
q_{\text{факт}} = c m_2 \Delta T
\]

где:
\(q_{\text{факт}}\) - фактически выделенная при ударе теплота,
\(c\) - удельная теплоемкость железа (0.45 Дж/град),
\(m_2\) - масса пластины,
\(\Delta T\) - изменение температуры пластины.

Подставим значение \(q_{\text{факт}}\) и решим уравнение относительно \(\Delta T\):

\[
\Delta T = \frac{q_{\text{факт}}}{c m_2}
\]

Теперь, чтобы найти на какую величину нагрелась пластина, умножим \(\Delta T\) на коэффициент линейного расширения железа (\(1.2 \times 10^{-5}\) 1/град):

\[
\Delta L = \alpha \Delta T L
\]

где:
\(\Delta L\) - изменение длины пластины,
\(\alpha\) - коэффициент линейного расширения железа,
\(\Delta T\) - изменение температуры пластины,
\(L\) - исходная длина пластины.

Окончательно, найдем изменение длины, которую можно интерпретировать как изменение температуры пластины:

\[
\Delta T = \frac{\Delta L}{\alpha L}
\]

Теперь мы можем приступить к расчетам.

\(v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \, \text{м/с}^2 \times 27 \, \text{м}} \approx 18.20 \, \text{м/с}\)

\(q = m_1 g h - \frac{m_2 g h}{2} = 0.9 \, \text{кг} \times 9.8 \, \text{м/с}^2 \times 27 \, \text{м} - \frac{3 \, \text{кг} \times 9.8 \, \text{м/с}^2 \times 27 \, \text{м}}{2} \approx 470.25 \, \text{Дж}\)

\(q_{\text{факт}} = 0.75q = 0.75 \times 470.25 \, \text{Дж} \approx 352.69 \, \text{Дж}\)

\(\Delta T = \frac{q_{\text{факт}}}{c m_2} = \frac{352.69 \, \text{Дж}}{0.45 \, \text{Дж/град} \times 3 \, \text{кг}} \approx 261.62 \, \text{градусов Кельвина}\)

\(\Delta L = \alpha \Delta T L = 1.2 \times 10^{-5} \, \text{1/град} \times 261.62 \, \text{градусов Кельвина} \times 0.27 \, \text{м} \approx 0.0008703 \, \text{м}\)

\(\Delta T = \frac{\Delta L}{\alpha L} = \frac{0.0008703 \, \text{м}}{1.2 \times 10^{-5} \, \text{1/град} \times 0.27 \, \text{м}} \approx 261.63 \, \text{градусов Кельвина}\)

Ответ: Железная пластина нагрелась на примерно 261.63 градусов Кельвина.

Задача 2:
Для решения этой задачи, нам необходимо рассчитать количество топлива, которое будет необходимо дизельному двигателю для его работы в течение 10 дней.

Сначала найдем энергию, потребляемую двигателем за 10 дней:

\[
E = P \cdot t
\]

где:
\(E\) - энергия (в жоулях),
\(P\) - мощность двигателя (в ваттах),
\(t\) - время работы (в секундах).

Мощность можно перевести из лошадиных сил в ватты, используя соотношение:

\[
1 \, \text{л.с.} = 735.5 \, \text{Вт}
\]

Теперь рассчитаем энергию:

\[
E = (P \cdot \text{КПД}) \cdot t
\]

где:
\(\text{КПД}\) - коэффициент полезного действия двигателя (в долях или в процентах, в данном случае 0.35).

Далее, рассчитаем количество топлива, используя удельную теплоту сгорания дизельного топлива:

\[
Q = \frac{E}{\text{УТ}}
\]

где:
\(Q\) - количество топлива (в кг),
\(\text{УТ}\) - удельная теплота сгорания дизельного топлива (в Дж/кг).

Наконец, учитывая, что заданное время работы двигателя - 10 дней, найдем массу топлива в тоннах:

\[
m = \frac{Q}{1000}
\]

Приступим к расчетам.

\(P = 500 \, \text{л.с.} \times 735.5 \, \text{Вт/л.с.} = 367750 \, \text{Вт}\)

\(E = (P \cdot \text{КПД}) \cdot t = (367750 \, \text{Вт} \cdot 0.35) \cdot (10 \, \text{дней} \times 24 \, \text{часа/день} \times 3600 \, \text{секунд/час}) \approx 1053360000 \, \text{Дж}\)

\(Q = \frac{E}{\text{УТ}} = \frac{1053360000 \, \text{Дж}}{42 \, \text{МДж/кг}} = 25.0828571 \, \text{кг}\)

\(m = \frac{Q}{1000} = \frac{25.0828571 \, \text{кг}}{1000} = 0.0250828571 \, \text{тонн}\)

Ответ: Дизельному двигателю мощностью 500 лошадиных сил при КПД 35% необходимо около 0.0251 тонн (или 25.08 кг) топлива для работы в течение 10 дней.