На какую длину волны переместится максимум излучения, если температуру тела увеличить

Для решения данной задачи нам понадобится использовать закон Вина, который устанавливает связь между температурой тела и длиной волны, на которой происходит максимум излучения. Формула закона Вина выглядит следующим образом:

\[ \lambda_{\text{max}} = \frac {b}{T} \]

где \(\lambda_{\text{max}}\) - длина волны, на которой происходит максимум излучения,
\(T\) - абсолютная температура тела (в кельвинах),
\(b\) - постоянная Вина (\(b \approx 2,9 \times 10^{-3} \, \text{м} \cdot \text{К}\)).

Итак, чтобы найти изменение длины волны максимума излучения при изменении температуры тела, мы должны сначала знать начальную температуру и начальную длину волны максимума излучения, а также изменение температуры. Давайте предположим, что начальная температура тела составляет \(T_{1}\), начальная длина волны максимума излучения - \(\lambda_{1}\), а изменение температуры - \(\Delta T\).

Тогда мы можем использовать формулу Вина для двух случаев: начального и конечного. Подставим значения в формулу:

\[ \lambda_{1_{\text{max}}} = \frac {b} {T_{1}} \]
\[ \lambda_{2_{\text{max}}} = \frac {b} {T_{2}} \]

где \(T_{2} = T_{1} + \Delta T\) - измененная температура тела.

Теперь вычтем первое уравнение из второго:

\[ \lambda_{2_{\text{max}}} - \lambda_{1_{\text{max}}} = \frac {b} {T_{2}} - \frac {b} {T_{1}} \]

Общий знаменатель нашего выражения можно записать как \(T_{1}T_{2}\), а числитель можно упростить:

\[ \lambda_{2_{\text{max}}} - \lambda_{1_{\text{max}}} = \frac {b(T_{1} - T_{2})} {T_{1}T_{2}} \]

Теперь можно выразить изменение длины волны максимума излучения в зависимости от изменения температуры:

\[ \Delta \lambda_{\text{max}} = \lambda_{2_{\text{max}}} - \lambda_{1_{\text{max}}} = \frac {b(T_{1} - T_{2})} {T_{1}T_{2}} \]

Подставим числовые значения в формулу для постоянной Вина (\(b \approx 2,9 \times 10^{-3} \, \text{м} \cdot \text{К}\)) и рассмотрим пример:

Пусть начальная температура тела составляет \(300 \, \text{К}\), а изменение температуры равно \(100 \, \text{К}\). Тогда:

\[ \Delta \lambda_{\text{max}} = \frac {(2,9 \times 10^{-3} \, \text{м} \cdot \text{К})(300 \, \text{К} - 400 \, \text{К})} {(300 \, \text{К})(400 \, \text{К})} \]

Выполняя арифметические операции, получим:

\[ \Delta \lambda_{\text{max}} \approx -\frac {0,029} {120000} = -2,42 \times 10^{-7} \, \text{м} \]

Заметим, что полученное значение отрицательное. Это указывает на то, что с увеличением температуры тела длина волны максимума излучения уменьшается. Однако, мы можем взять модуль значений и получить положительное число.

Таким образом, при увеличении температуры тела на \(100 \, \text{К}\), длина волны максимума излучения изменяется на \(\approx 2,42 \times 10^{-7} \, \text{м}\).