На какую цифру заканчивается результат умножения всех двузначных чисел?

Чтобы определить на какую цифру заканчивается результат умножения всех двузначных чисел, нужно рассмотреть все эти числа и проанализировать их закономерности.

Двузначные числа представляются в виде AB, где A - десятки, а B - единицы. Всего существует 90 двузначных чисел, начинающихся с 10 и заканчивающихся 99.

Мы можем записать каждое двузначное число в виде 10A + B, где 10A - сумма десятков, а B - значение единиц. Тогда умножение всех двузначных чисел будет представляться в виде (10A1 + B1) * (10A2 + B2) * ... * (10A90 + B90).

Раскроем скобки и упростим выражение:

(10A1 + B1) * (10A2 + B2) * ... * (10A90 + B90) =
= (10A1 * 10A2 * ... * 10A90) + (10A1 * B2 * ... * B90) + (B1 * 10A2 * ... * B90) + (B1 * B2 * ... * B90).

Заметим, что каждый член вида 10Ai, где i - номер числа, оканчивается на 0, поэтому при умножении числа на 10A1, в итоге получается число, заканчивающееся на 0. Поэтому первый множитель (10A1 * 10A2 * ... * 10A90) оканчивается на 0.

Теперь рассмотрим остальные слагаемые: (10A1 * B2 * ... * B90), (B1 * 10A2 * ... * B90) и (B1 * B2 * ... * B90).

Заметим, что каждый множитель вида Bi является единственной цифрой от 0 до 9. При умножении на число, заканчивающееся на 0, результат также будет заканчиваться на 0. Поэтому второе и третье слагаемое ((10A1 * B2 * ... * B90) и (B1 * 10A2 * ... * B90)) также оканчиваются на 0.

Осталось рассмотреть последнее слагаемое (B1 * B2 * ... * B90). В этом случае все множители являются единственными цифрами от 0 до 9. При умножении таких чисел, результатом будет число, оканчивающееся на цифру, которая получится из перемножения этих цифр. Например, умножение 1 * 2 * 3 = 6.

Таким образом, последнее слагаемое (B1 * B2 * ... * B90) определяет на какую цифру заканчивается результат умножения всех двузначных чисел.

Давайте посчитаем произведение всех цифр от 1 до 9:

\(1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 = 362,880\).

Заметим, что числа от 10 до 99 содержат все эти цифры в разных комбинациях. Поэтому произведение этих цифр повторяется несколько раз.

Получается, что результат умножения всех двузначных чисел заканчивается на цифру 0.