На какой высоте свободно падающего тела его кинетическая энергия будет составлять треть от начального значения

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется использовать принцип сохранения механической энергии. При свободном падении, механическая энергия тела сохраняется, то есть сумма его потенциальной и кинетической энергии остается постоянной.

Дано, что кинетическая энергия тела на какой-то высоте является третью частью от начальной кинетической энергии при падении с какой-то высоты.

Обозначим начальную высоту падения через \(h_0\) и начальную кинетическую энергию через \(E_{\text{к}_0}\).

Тогда, на высоте \(h\) кинетическая энергия тела будет составлять третью часть от начальной кинетической энергии:

\[\frac{E_{\text{к}}}{E_{\text{к}_0}} = \frac{1}{3}\]

Поскольку кинетическая энергия выражается как \(E_{\text{к}} = \frac{1}{2}mv^2\), где \(m\) - масса тела, а \(v\) - его скорость, мы можем записать:

\[\frac{\frac{1}{2}mv^2}{\frac{1}{2}mv_0^2} = \frac{1}{3}\]

Где \(v_0\) - начальная скорость тела при падении с высоты \(h_0\).

Поскольку скорость свободно падающего тела можно выразить через начальную высоту, используя формулу для свободного падения:
\[v_0 = \sqrt{2gh_0}\]
Где \(g\) - ускорение свободного падения, примерно равное \(9.8 \, \text{м/c}^2\).

Подставим значение \(v_0\) в уравнение:

\[\frac{\frac{1}{2}m(2gh)^2}{\frac{1}{2}m(2gh_0)^2} = \frac{1}{3}\]

Упростим уравнение, сократив массу \(m\):

\[\frac{(2gh)^2}{(2gh_0)^2} = \frac{1}{3}\]

Теперь возьмем корни от обеих сторон:

\[(2gh)^2 = \frac{(2gh_0)^2}{3}\]

Раскроем квадраты:

\(4g^2h^2 = \frac{4g^2h_0^2}{3}\)

Упростим уравнение, сократив на \(4g^2\):

\(h^2 = \frac{h_0^2}{3}\)

Возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\(h = \frac{h_0}{\sqrt{3}}\)

Таким образом, на высоте падения, равной \(h = \frac{h_0}{\sqrt{3}}\), кинетическая энергия тела будет составлять третью часть от начального значения.