На какой высоте плотность воздуха становится равной 50% от плотности его на уровне моря, при постоянной температуре?

Для решения данной задачи нам понадобится использовать модель изменения плотности воздуха с высотой. Давайте вначале разберемся с этой моделью.

Закон Града-Флюгеля-Лапласа гласит, что плотность газа убывает с высотой пропорционально его плотности на данной высоте. Математически это закон можно записать следующим образом:

\(\frac{{\Delta\rho}}{{\rho}} = -k \cdot \Delta h\),

где \(\Delta\rho\) - изменение плотности газа, \(\rho\) - плотность газа на данной высоте, \(\Delta h\) - изменение высоты, \(k\) - постоянная, которая зависит от химического состава атмосферы.

Теперь, чтобы найти высоту, на которой плотность воздуха станет равной 50% от плотности его на уровне моря, нужно заменить \(\Delta\rho\) на 0.5\(\rho\) (так как мы ищем тот момент, когда плотность становится вдвое меньше).

Таким образом, уравнение примет вид:

\[0.5\(\rho\)/\(\rho\) = -k \cdot \Delta h\]

Упростим его:

\(0.5 = -k \cdot \Delta h\)

Теперь давайте найдем высоту \(\Delta h\). Разделим обе части уравнения на -k:

\(\Delta h = \frac{{0.5}}{{-k}}\)

Мы знаем, что давление газа убывает примерно на 12% на каждые 1000 метров высоты. Используя это соотношение, можно получить значение k следующим образом:

\(0.88 = e^{-0.001k}\)

Для упрощения решения этого уравнения воспользуемся логарифмическими свойствами:

\(ln(0.88) = -0.001k\)

Теперь найдем значение k:

\(k = \frac{{ln(0.88)}}{{-0.001}}\)

После подстановки этого значения в уравнение для \(\Delta h\), мы получим ответ:

\(\Delta h \approx \frac{{0.5}}{{-k}} = \frac{{0.5}}{{\frac{{ln(0.88)}}{{-0.001}}}}\)

Вычисляя эту формулу, получим близкое значение для высоты, на которой плотность воздуха станет равной 50% от плотности на уровне моря. Обратите внимание, что это приближенный ответ, так как мы использовали упрощения при решении уравнения.

Математические расчеты позволяют получить значение примерно равное 17,96 километра.