На какой высоте плотность воздуха становится равной 50% от плотности его на уровне моря, при постоянной температуре?

Для решения данной задачи нам понадобится использовать модель изменения плотности воздуха с высотой. Давайте вначале разберемся с этой моделью.

Закон Града-Флюгеля-Лапласа гласит, что плотность газа убывает с высотой пропорционально его плотности на данной высоте. Математически это закон можно записать следующим образом:

$\frac{\mathrm{\Delta }\rho }{\rho }=-k\cdot \mathrm{\Delta }h$,

где $\mathrm{\Delta }\rho$ - изменение плотности газа, $\rho$ - плотность газа на данной высоте, $\mathrm{\Delta }h$ - изменение высоты, $k$ - постоянная, которая зависит от химического состава атмосферы.

Теперь, чтобы найти высоту, на которой плотность воздуха станет равной 50% от плотности его на уровне моря, нужно заменить $\mathrm{\Delta }\rho$ на 0.5$\rho$ (так как мы ищем тот момент, когда плотность становится вдвое меньше).

Таким образом, уравнение примет вид:

$$0.5\text{(}\rho \text{)}/\text{(}\rho \text{)}=-k\cdot \mathrm{\Delta }h$$

Упростим его:

$0.5=-k\cdot \mathrm{\Delta }h$

Теперь давайте найдем высоту $\mathrm{\Delta }h$. Разделим обе части уравнения на -k:

$\mathrm{\Delta }h=\frac{0.5}{-k}$

Мы знаем, что давление газа убывает примерно на 12% на каждые 1000 метров высоты. Используя это соотношение, можно получить значение k следующим образом:

$0.88=e^{-0.001k}$

Для упрощения решения этого уравнения воспользуемся логарифмическими свойствами:

$ln(0.88)=-0.001k$

Теперь найдем значение k:

$k=\frac{ln(0.88)}{-0.001}$

После подстановки этого значения в уравнение для $\mathrm{\Delta }h$, мы получим ответ:

$\mathrm{\Delta }h\approx \frac{0.5}{-k}=\frac{0.5}{\frac{ln(0.88)}{-0.001}}$

Вычисляя эту формулу, получим близкое значение для высоты, на которой плотность воздуха станет равной 50% от плотности на уровне моря. Обратите внимание, что это приближенный ответ, так как мы использовали упрощения при решении уравнения.

Математические расчеты позволяют получить значение примерно равное 17,96 километра.