На какой высоте над землей находится фонарь, если человек, рост которого составляет 188 см, стоит под ним, а его тень

№1. Чтобы определить высоту фонаря над землей, воспользуемся подобием треугольников и соотношением подобия сторон.

Рост человека составляет 188 см, а длина его тени равна 169 см. При этом, когда человек отойдет от фонаря на 0,49 м, длина его тени станет равна 267 см.

Обозначим высоту фонаря над землей как \(h\) и расстояние от человека до фонаря как \(d\).

Составим пропорцию:
\(\frac{h}{d} = \frac{188}{169}\)

По условию, когда человек отойдет на 0,49 м, его тень станет равна 267 см. Мы можем записать еще одну пропорцию, используя новые значения:
\(\frac{h}{d+0,49} = \frac{188}{267}\)

Теперь решим полученную систему уравнений.

Раскроем обе пропорции, чтобы избавиться от дробей:
\(\frac{h}{d} = \frac{188}{169} \implies hd = \frac{188}{169}d\)
\(\frac{h}{d+0,49} = \frac{188}{267} \implies h(d+0,49) = \frac{188}{267}(d+0,49)\)

Раскроем скобки:
\(hd + 0,49h = \frac{188}{169}d + 0,49 \cdot \frac{188}{169}\)
\(hd + 0,49h = \frac{188}{169}d + \frac{94}{169}\)

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:
\(hd - \frac{188}{169}d = \frac{94}{169} - 0,49h\)

Раскроем умножение:
\(d(h - \frac{188}{169}) = \frac{94}{169} - 0,49h\)

Приравняем координаты при переменной \(h\) и \(d\):
\(h - \frac{188}{169} = -0,49h\)
\(1,49h = \frac{94}{169}\)
\(h = \frac{\frac{94}{169}}{1,49} = \frac{94}{169} \cdot \frac{100}{149} \approx 62,89\) см

Таким образом, фонарь расположен на высоте около 62,89 см над землей.

№2. Чтобы определить местоположение источника света и диска, воспользуемся подобием треугольников и соотношением подобия площадей.

Из условия известно, что источник света находится на расстоянии 0,6 м от диска, а тень от диска падает на экран, который находится на расстоянии 0,1 м от диска. Скорость удаления экрана от источника света составляет 0,5 см/с.

Обозначим расстояние от диска до источника света как \(d\) и расстояние от диска до экрана как \(x\).

Мы знаем, что если экран удалится от источника света на 0,5 см, площадь тени увеличится в 3 раза. Выразим это соотношение в уравнении.

Пусть \(S\) - площадь тени до увеличения, \(S"\) - площадь тени после увеличения.

Тогда мы можем записать:
\(S" = 3S\)

Площадь тени на экране пропорциональна квадрату расстояния между диском и источником света. То есть, \(S \propto d^2\).

Из условия задачи мы знаем, что \(x = 0,1\) м и скорость увеличения \(x\) составляет 0,5 см/с.

Запишем уравнение соотношения площадей тени:
\(\frac{S"}{S} = \frac{(x+d)^2}{x^2} = 3\)

Раскроем скобки и упростим уравнение:
\(\frac{x^2+2xd+d^2}{x^2} = 3\)
\(1 + \frac{2xd}{x^2} + \frac{d^2}{x^2} = 3\)

Упростим еще немного:
\(\frac{2xd}{x^2} + \frac{d^2}{x^2} = 2\)
\(\frac{2d}{x} + \frac{d^2}{x^2} = 2\)

Теперь перепишем это уравнение в виде:
\(\frac{2d}{x} = 2 - \frac{d^2}{x^2}\)

Заметим, что \(x = 0,1\) м и расстояние между экраном и источником света увеличивается на 0,5 см/с.
Тогда можем записать:
\(\frac{2d}{0,1} = 2 - \frac{d^2}{(0,1+0,005)^2} = 2 - \frac{d^2}{(0,105)^2}\)
\(\frac{2d}{0,1} = 2 - \frac{d^2}{0,0105^2}\)

Упростим уравнение:
\(\frac{2d}{0,1} = 2 - \frac{d^2}{0,011025}\)
\(\frac{20d}{1} = 2 - \frac{d^2}{0,011025}\)
\(20d = 2 - \frac{d^2}{0,00055}\)
\(d^2 = 0,00055 \cdot (2 - 20d)\)
\(d^2 = 0,0011 - 0,011d\)

Раскроем умножение:
\(d^2 + 0,011d - 0,0011 = 0\)

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\(D = 0,011^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-0,0011)\)
\(D = 0,000121 + 0,0044\)
\(D = 0,004521\)

Теперь найдем значения для \(d\):
\(d = \frac{-0,011 \pm \sqrt{0,004521}}{2 \cdot 1}\)
\(d = \frac{-0,011 \pm 0,067236}{2}\)

Найдем два возможных значения для \(d\):
\(d_1 = \frac{-0,011 + 0,067236}{2}\)
\(d_2 = \frac{-0,011 - 0,067236}{2}\)

Получаем:
\(d_1 = 0,028118\)
\(d_2 = -0,039118\)

Так как расстояние не может быть отрицательным, то \(d_2\) не подходит.

Таким образом, местоположение источника света относительно диска равно примерно 0,028118 метра, или 2,8118 см.

Это было пошаговое решение задачи о высоте фонаря и местоположении источника света. Надеюсь, все стало понятно для школьника. Если остались вопросы, буду рад их проработать. Для решения других задач или объяснения урока, только пиши!