На какой высоте над поверхностью Земли происходит снижение силы тяготения на 20%, принимая радиус Земли равным 6400?

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать формулу для силы тяготения и воспользоваться пропорциональным рассуждением.

Формула для силы тяготения выглядит следующим образом:

\[ F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}} \]

где:
- \( F \) - сила тяготения
- \( G \) - гравитационная постоянная (\( G = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2 \))
- \( m_1 \) и \( m_2 \) - массы двух взаимодействующих тел (в данном случае масса Земли и масса объекта)
- \( r \) - расстояние между центрами масс тел

Мы хотим найти высоту, на которой сила тяготения уменьшилась на 20%, поэтому мы можем записать:

\( F_2 = 0.8 \cdot F_1 \)

Для испытуемого объекта в момент изменения силы тяготения, масса остаётся постоянной, а значит, гравитационная сила может меняться только из-за изменения расстояния \( r \).

Высота над поверхностью Земли может быть выражена через радиус Земли и расстояние от центра Земли до объекта. Мы можем записать:

\( r = R_{\text{Земли}} + h \)

где:
- \( R_{\text{Земли}} \) - радиус Земли
- \( h \) - высота над поверхностью Земли

Теперь у нас есть все необходимые сведения, чтобы приступить к решению. Давайте найдём \( h \).

Сначала выразим \( F_2 \) и \( F_1 \) через массу объекта и расстояние:

\[ F_2 = \frac{{G \cdot m_{\text{Земли}} \cdot m_{\text{объекта}}}}{{(R_{\text{Земли}} + h)^2}} \]
\[ F_1 = \frac{{G \cdot m_{\text{Земли}} \cdot m_{\text{объекта}}}}{{(R_{\text{Земли}})^2}} \]

Подставим \( F_2 \) и \( F_1 \) в уравнение и решим его:

\[ 0.8 \cdot \frac{{G \cdot m_{\text{Земли}} \cdot m_{\text{объекта}}}}{{(R_{\text{Земли}} + h)^2}} = \frac{{G \cdot m_{\text{Земли}} \cdot m_{\text{объекта}}}}{{(R_{\text{Земли}})^2}} \]

Теперь у нас есть уравнение относительно \( h \), которое мы можем решить. Для начала упростим его, сократив на \( G \cdot m_{\text{Земли}} \cdot m_{\text{объекта}} \):

\[ 0.8 \cdot \frac{1}{{(R_{\text{Земли}} + h)^2}} = \frac{1}{{(R_{\text{Земли}})^2}} \]

Далее приведём это к общему знаменателю:

\[ 0.8 \cdot (R_{\text{Земли}})^2 = (R_{\text{Земли}} + h)^2 \]

Раскроем скобки:

\[ 0.8 \cdot (R_{\text{Земли}})^2 = (R_{\text{Земли}})^2 + 2 \cdot R_{\text{Земли}} \cdot h + (h)^2 \]

Упростим это уравнение:

\[ 0.8 \cdot (R_{\text{Земли}})^2 - (R_{\text{Земли}})^2 = 2 \cdot R_{\text{Земли}} \cdot h + (h)^2 \]

Вычистим \( (R_{\text{Земли}})^2 \) из обеих частей:

\[ 0.2 \cdot (R_{\text{Земли}})^2 = 2 \cdot R_{\text{Земли}} \cdot h + (h)^2 \]

Получили квадратное уравнение. Давайте распишем его полностью:

\[ 0.2 \cdot 6400^2 = 2 \cdot 6400 \cdot h + (h)^2 \]

Теперь решаем это квадратное уравнение. Приведём его к стандартному виду \( ah^2 + bh + c = 0 \):

\[ 819200 = 12800h + (h)^2 \]

\[ h^2 + 12800h - 819200 = 0 \]

Чтобы решить это квадратное уравнение, давайте воспользуемся квадратным корнем:

\[ h = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \]

В нашем случае, \( a = 1 \), \( b = 12800 \), и \( c = -819200 \). Подставим значения и решим:

\[ h = \frac{{-12800 \pm \sqrt{{12800^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-819200)}}}}{{2 \cdot 1}} \]

\[ h = \frac{{-12800 \pm \sqrt{{163840000 + 3276800}}}}{{2}} \]

\[ h = \frac{{-12800 \pm \sqrt{{167116800}}}}{{2}} \]

\[ h = \frac{{-12800 \pm 12927.65}}{{2}} \]

\[ h \approx \frac{{-12800 + 12927.65}}{{2}} \] (положительное значение)

\[ h \approx \frac{{127.65}}{{2}} \]

\[ h \approx 63.825 \, \text{км} \]

Таким образом, снижение силы тяготения на 20% происходит на высоте около 63.825 км над поверхностью Земли. Процесс решения включал использование формулы для силы тяготения, пропорционального рассуждения, и решения квадратного уравнения.