На какой максимальный угол отклонится нить после столкновения шарика массой м1, равной 1 кг, который висит на нити

Для решения данной задачи нам понадобится применить законы сохранения энергии и момента импульса.

1. Первым делом вычислим потенциальную энергию системы до столкновения шарика и шара. По закону сохранения энергии:

\[ E = m_1 \cdot g \cdot h_1 + m_2 \cdot g \cdot h_2 \]

где
\( m_1 = 1 \) кг - масса шарика,
\( m_2 = 2 \) кг - масса шара,
\( g \) - ускорение свободного падения (принимаем равным \( 9.8 \) м/с²),
\( h_1 = 0.5 \) м - высота, на которую поднялся шарик,
\( h_2 = 1 \) м - высота на столе, где лежит шар.

Подставив известные значения, получаем:

\[ E = 1 \cdot 9.8 \cdot 0.5 + 2 \cdot 9.8 \cdot 1 \]

\[ E = 4.9 + 19.6 \]

\[ E = 24.5 \, \text{Дж} \]

2. После столкновения шарика и шара они достигнут состояния равновесия, при котором их скорости будут равны нулю. Это означает, что весь исходный импульс системы будет скомпенсирован.

3. Для определения угла отклонения нити после столкновения воспользуемся законом сохранения момента импульса. По этому закону:

\[ m_1 \cdot v_1 \cdot r_1 + m_2 \cdot v_2 \cdot r_2 = 0 \]

где
\( v_1 \) - скорость шарика после столкновения,
\( v_2 = 0 \) - скорость шара после столкновения,
\( r_1 = 0.5 \) м - радиус нити,
\( r_2 \) - неизвестный радиус отклонения нити после столкновения.

Подставив известные значения, получаем:

\[ 1 \cdot v_1 \cdot 0.5 + 2 \cdot 0 \cdot r_2 = 0 \]

\[ v_1 \cdot 0.5 = 0 \]

\[ v_1 = 0 \, \text{м/с} \]

Таким образом, скорость шарика после столкновения равна нулю.

4. Далее, используем формулу механической энергии для вычисления максимального угла отклонения нити. До столкновения шарика и шара, энергия системы была равна потенциальной энергии \(E\) (вычисленной в пункте 1).

После столкновения сумма потенциальной и кинетической энергии системы должна остаться неизменной, так как все энергия должна быть преобразована в потенциальную энергию нити.

Используя формулу для потенциальной энергии шарика на высоте \( h \):

\[ E = m \cdot g \cdot h \]

подставим известные значения и найдем максимальный угол отклонения нити:

\[ 24.5 = (m_1 + m_2) \cdot g \cdot h \]

\[ 24.5 = 3 \cdot 9.8 \cdot h \]

\[ h = \frac{24.5}{3 \cdot 9.8} \]

\[ h \approx 0.836 \, \text{м} \]

Теперь, чтобы найти максимальный угол отклонения нити, можно использовать соотношение между радиусом нити \( r_1 \) и отклонением \( h \):

\[ \sin(\theta) = \frac{h}{r_1} \]

\[ \sin(\theta) = \frac{0.836}{0.5} \]

\[ \sin(\theta) \approx 1.672 \]

Так как \(\sin(\theta)\) не может быть больше 1, мы можем сделать вывод, что максимальное значение угла отклонения нити будет \(\theta = 90^\circ\).

Таким образом, нить отклонится на максимальный угол 90 градусов после столкновения шарика и шара в положении равновесия.