На каком временном интервале t площадь тени S на экране увеличится в четыре раза, если точечный источник света

Для решения данной задачи нам нужно установить зависимость площади тени на экране от времени. Для этого мы можем использовать геометрические свойства подобных фигур.

Пусть x(t) - расстояние от точечного источника света до диска в момент времени t, а S(t) - площадь тени на экране в этот момент времени.

Из геометрических соображений мы знаем, что подобные треугольники имеют пропорциональные стороны. Таким образом, мы можем построить пропорцию между расстояниями и площадями тени:

\(\frac{х(t)}{х_0} = \frac{S(t)}{S}\),

где S - площадь тени на экране в начальный момент времени.

Мы также знаем, что площадь тени пропорциональна квадрату радиуса диска, т.е.

\(\frac{S(t)}{S} = \left(\frac{r(t)}{r}\right)^2\).

Теперь мы можем выразить радиус диска через расстояние до диска:

\(r(t) = x(t) - x\).

Подставляя это выражение в пропорцию, получаем:

\(\frac{х(t)}{х_0} = \left(\frac{x(t) - x}{r}\right)^2\).

Раскроем скобки и приведем уравнение к квадратному виду:

\(\frac{х(t)}{х_0} = \left(\frac{x(t)}{r} - \frac{x}{r}\right)^2\).

Выразим x(t) через скорость и время:

\(х(t) = x + v \cdot t\).

Подставляя это в уравнение, получаем:

\(\frac{x + v \cdot t}{х_0} = \left(\frac{x + v \cdot t}{r} - \frac{x}{r}\right)^2\).

Раскроем скобки и приведем квадрат к общему знаменателю:

\(\frac{x^2 + 2 \cdot x \cdot v \cdot t + v^2 \cdot t^2}{х_0^2} = \frac{(x + v \cdot t)^2}{r^2}\).

Теперь мы можем сравнить числитель и знаменатель долей, чтобы найти значение времени t, при котором площадь тени увеличится в 4 раза.

\(x^2 + 2 \cdot x \cdot v \cdot t + v^2 \cdot t^2 = 4 \cdot х_0^2 \cdot \left(x + v \cdot t\right)^2\).

Раскроем скобки:

\(x^2 + 2 \cdot x \cdot v \cdot t + v^2 \cdot t^2 = 4 \cdot х_0^2 \cdot \left(x^2 + 2 \cdot x \cdot v \cdot t + v^2 \cdot t^2\right)\).

Выполним упрощение:

\(0 = 3 \cdot \left(x^2 + 2 \cdot x \cdot v \cdot t + v^2 \cdot t^2\right) - 4 \cdot х_0^2 \cdot \left(x^2 + 2 \cdot x \cdot v \cdot t + v^2 \cdot t^2\right)\).

Мы видим уравнение вида \(0 = a \cdot b\), которое имеет нулевую сумму только в двух случаях: когда \(a = 0\) или \(b = 0\).

Рассмотрим эти случаи:

1. Пусть \(a = 0\). Это означает, что один из множителей равен нулю:

\(3 \cdot \left(x^2 + 2 \cdot x \cdot v \cdot t + v^2 \cdot t^2\right) = 0\).

Решив это уравнение, мы можем найти значения времени, когда площадь тени будет равна 4 * S:

\(x^2 + 2 \cdot x \cdot v \cdot t + v^2 \cdot t^2 = 0\).

2. Пусть \(b = 0\). Это означает, что другой множитель равен нулю:

\(4 \cdot х_0^2 \cdot \left(x^2 + 2 \cdot x \cdot v \cdot t + v^2 \cdot t^2\right) = 0\).

Решив это уравнение, мы также можем найти значения времени, при которых площадь тени будет увеличиваться в 4 раза.

Теперь вычислим значения времени и найдем интервал t, на котором площадь тени увеличится в 4 раза.