На каком расстоянии от экрана должен быть размещен слайд, чтобы достичь максимального размера кадра на экране

Для решения данной задачи нам необходимо определить расстояние от экрана, на котором следует разместить слайд, чтобы получить максимальный размер кадра на экране.

Давайте начнем с определения некоторых величин. Пусть \(x\) - расстояние от экрана до слайда, \(f\) - фокусное расстояние проектора, \(w\) - ширина слайда, \(h\) - высота слайда, \(W\) - ширина экрана, \(H\) - высота экрана.

Исходя из геометрических соображений, мы можем воспользоваться подобием треугольников, чтобы связать данные размеры. Получим следующее соотношение:

\[\frac{{w}}{{W}} = \frac{{x + f}}{{x}}\]

Также, учитывая, что пропорция также будет справедлива для высоты, получим:

\[\frac{{h}}{{H}} = \frac{{x + f}}{{x}}\]

Распишем данные размеры в числах, прежде чем решать уравнения. Размеры слайда: \(w = 24\) мм, \(h = 36\) мм. Размеры экрана: \(W = 100\) см, \(H = 100\) см. Фокусное расстояние проектора: \(f = 50\) мм.

Подставим все значения в уравнения и решим их:

\[\frac{{24}}{{100}} = \frac{{x + 50}}{{x}}\]

Умножаем обе части уравнения на \(100x\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[24x = 100(x + 50)\]

Раскроем скобки и упростим:

\[24x = 100x + 5000\]

Вычтем \(100x\) из обеих частей уравнения:

\[24x - 100x = 5000\]

\[-76x = 5000\]

Разделим обе части уравнения на \(-76\):

\[x = \frac{{5000}}{{-76}}\]

Результат получился отрицательным, что говорит нам о том, что слайд должен быть размещен на расстоянии от экрана, большем, чем значение фокусного расстояния проектора.

Если мы пренебрежем знаками и возьмем абсолютное значение:

\[x = \frac{{5000}}{{76}} \approx 65.79\]

Ответ округляем до целого числа, поэтому получаем \(x = 66\) (расстояние должно быть около 66 мм).

Таким образом, чтобы достичь максимального размера кадра на экране, слайд должен быть размещен на расстоянии приблизительно 66 мм от экрана.