На каких значениях x функция y=5x−10cosx достигает экстремума? Какого характера эти точки? Введите ответ в градусах

Чтобы найти значения x, при которых функция \(y = 5x - 10\cos(x)\) достигает экстремума, мы должны найти моменты, когда производная этой функции равна нулю либо недоступна. Найденные значения x будут являться точками экстремума.

1. Найдем производную функции \(y\) по \(x\):
\[
\frac{dy}{dx} = 5 - 10(-\sin(x)) = 5 + 10\sin(x)
\]

2. Решим уравнение \(\frac{dy}{dx} = 0\) для нахождения точек экстремума:
\[
5 + 10\sin(x) = 0
\]

Вычтем 5 из обеих частей уравнения:
\[
10\sin(x) = -5
\]

Разделим обе части уравнения на 10:
\[
\sin(x) = -\frac{1}{2}
\]

3. Теперь нам нужно найти значения \(x\), при которых \(\sin(x) = -\frac{1}{2}\). Чтобы найти такие значения, мы можем обратиться к тригонометрической окружности или использовать таблицу значений синуса.

На окружности значение \(\sin(x) = -\frac{1}{2}\) соответствует углам \(x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k\) и \(x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k\) - целое число.

Преобразуя эти значения в градусы, получим \(x = -30^\circ + 360^\circ k\) и \(x = 210^\circ + 360^\circ k\), где \(k\) - целое число.

Таким образом, функция \(y = 5x - 10\cos(x)\) достигает экстремума при значениях \(x = -30^\circ + 360^\circ k\) и \(x = 210^\circ + 360^\circ k\), где \(k\) - целое число.

Что касается характера этих точек, мы можем применить вторую производную для классификации экстремумов. Я покажу пошаговое решение для определения характера экстремума.

4. Найдем вторую производную функции \(y\):
\[
\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(5 + 10\sin(x)) = 10\cos(x)
\]

5. Определяем знак второй производной в найденных значениях \(x\). Для этого подставим значения \(x\) в \(\frac{d^2y}{dx^2}\), полученные на предыдущем шаге.

В значениях \(x = -30^\circ + 360^\circ k\) и \(x = 210^\circ + 360^\circ k\) имеем:
\[
\frac{d^2y}{dx^2} = 10\cos(-30^\circ + 360^\circ k) = 10\cos(30^\circ) = 5 > 0
\]

Значит, во всех точках экстремума функция имеет минимум.

Итак, значения \(x = -30^\circ + 360^\circ k\) и \(x = 210^\circ + 360^\circ k\), где \(k\) - целое число, являются точками экстремума для функции \(y = 5x - 10\cos(x)\). Эти точки являются минимумами.