На каких точках производная функции f(x) равна нулю?

Хорошо, рассмотрим задачу о нахождении точек, в которых производная функции \(f(x)\) равна нулю.

Для начала, давайте вспомним, что производная функции в данной точке показывает скорость изменения функции в этой точке. Если производная равна нулю, это означает, что скорость изменения функции в данной точке равна нулю. Иными словами, график функции в этих точках имеет экстремумы (максимумы или минимумы).

Чтобы найти такие точки, нужно выполнить следующие шаги:

1. Начнем с выражения для производной функции \(f"(x)\).
2. Решим уравнение \(f"(x) = 0\) относительно \(x\), чтобы найти значения \(x\), при которых производная равна нулю.
3. Подставим значения \(x\), найденные в предыдущем шаге, в исходную функцию \(f(x)\), чтобы получить соответствующие значения \(y\) и найти полные координаты точек с нулевой производной.

Давайте проиллюстрируем это на примере. Предположим, у нас есть функция \(f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6\). Чтобы найти точки с нулевой производной, выполним указанные шаги:

1. Вычислим производную функции \(f(x)\):

\[f"(x) = 3x^2 - 4x - 5\]

2. Решим уравнение \(f"(x) = 0\):

\[3x^2 - 4x - 5 = 0\]

Можно найти корни этого квадратного уравнения с помощью формулы дискриминанта или заметить, что оно факторизуется в следующий вид:

\[(x - 3)(3x + 2) = 0\]

Из этого следует, что либо \(x - 3 = 0\) и, следовательно, \(x = 3\), либо \(3x + 2 = 0\) и, следовательно, \(x = -\frac{2}{3}\).

3. Теперь, чтобы найти значения функции \(f(x)\) в этих точках, мы подставим найденные значения \(x\) в исходную функцию \(f(x)\):

\[f(3) = 3^3 - 2 \cdot 3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 0\]

\[f\left(-\frac{2}{3}\right) = \left(-\frac{2}{3}\right)^3 - 2 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^2 - 5 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) + 6 = 0\]

Таким образом, точки, в которых производная функции \(f(x)\) равна нулю, это \((3, 0)\) и \(\left(-\frac{2}{3}, 0\right)\).

Ответ: Производная функции \(f(x)\) равна нулю в точках \((3, 0)\) и \(\left(-\frac{2}{3}, 0\right)\).