На доске записаны 29 чисел. Полина увеличила некоторые числа на 1, некоторые на 12, а все оставшиеся на 123. Возможно

Давайте разберем эту задачу пошагово.

У нас есть исходные 29 чисел, и Полина увеличила некоторые из них на 1, некоторые на 12 и все оставшиеся на 123. Нам нужно выяснить, есть ли среди новых 29 чисел повторяющиеся числа, а также определить наименьшее количество различных чисел, которое может быть среди новых чисел.

Предположим, у нас есть два числа \(a\) и \(b\), и они увеличены на одну и ту же величину \(x\). Тогда новые числа будут иметь вид \(a + x\) и \(b + x\). Если новые числа равны, то \((a + x) = (b + x)\), что приводит нас к равенству \(a = b\). Таким образом, новые числа будут совпадать только если исходные числа были одинаковыми.

В данной задаче, мы можем предположить, что все 29 исходных чисел различны. После каждого увеличения, некоторые числа станут одинаковыми. Давайте рассмотрим случаи каждого увеличения:

1. Увеличение на 1: Если два числа увеличиваются на 1, то они могут стать равными. Таким образом, у нас может быть до 28 одинаковых чисел после этого увеличения.

2. Увеличение на 12: Если два числа увеличиваются на 12, то они также могут стать равными. Таким образом, у нас может быть до 28 одинаковых чисел после этого увеличения.

3. Увеличение на 123: В данном случае, каждое число будет уникальным, поскольку 123 достаточно большое число, чтобы изменить значения различных исходных чисел.

Теперь мы можем подвести итоги:

- Если есть два числа, которые увеличиваются на 1, мы можем иметь до 28 одинаковых чисел.
- Если есть два числа, которые увеличиваются на 12, мы также можем иметь до 28 одинаковых чисел.
- Если есть какое-то число, которое увеличивается на 123, все числа будут различными.

Таким образом, наименьшее количество различных чисел среди новых 29 чисел будет равно 29, если все числа увеличены на 123.

Ответ: Да, возможно, что среди новых 29 чисел есть одинаковые. Наименьшее количество различных чисел среди новых чисел будет равно 29.