На числовом отрезке [3672; 9117] сколько целых чисел удовлетворяют условиям: остаток от деления на 3 равен 2 и остаток

Для решения данной задачи нужно найти количество целых чисел на отрезке [3672; 9117], которые удовлетворяют условиям: \(x \equiv 2 \pmod{3}\) и \(x \equiv 4 \pmod{5}\).

1. Рассмотрим условие остатка от деления на 3. Чтобы \(x\) удовлетворяло условию \(x \equiv 2 \pmod{3}\), значит, остаток от деления \(x\) на 3 должен быть равен 2. Таким образом, мы ищем числа вида \(x = 3k + 2\), где \(k\) - целое число.

2. Теперь посмотрим на условие остатка от деления на 5. Чтобы \(x\) удовлетворяло условию \(x \equiv 4 \pmod{5}\), остаток от деления \(x\) на 5 должен быть равен 4. То есть, \(x = 5m + 4\), где \(m\) - целое число.

3. Мы можем объединить оба условия в систему сравнений:

\[
\begin{cases}
x \equiv 2 \pmod{3} \\
x \equiv 4 \pmod{5}
\end{cases}
\]

4. По китайской теореме об остатках можно найти количество целых чисел, удовлетворяющих обоим условиям. Для этого решим систему сравнений. В данном случае решение будет иметь вид:

\[
x \equiv (2 \cdot 5 \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot 3) \pmod{3 \cdot 5} \equiv 44 \pmod{15}
\]

5. Посмотрим, сколько чисел \(x\) на отрезке [3672; 9117] удовлетворяют условию \(x \equiv 44 \pmod{15}\). Для этого найдем количество таких чисел на отрезке и их сумму.

6. Подсчитаем количество чисел, удовлетворяющих условию \(x \equiv 44 \pmod{15}\) на отрезке [3672; 9117]. Это можно сделать, разделив разницу между верхней и нижней границей на 15 и при необходимости скорректировав границы.

\[ \text{Количество чисел} = \left\lfloor \frac{9117 - 3672}{15} \right\rfloor + 1 \]

7. Посчитав количество таких чисел, умножим его на 15 (так как решение системы сравнений даёт период 15) и найдем сумму всех чисел, удовлетворяющих условиям.

\[ \text{Сумма чисел} = \frac{\text{Количество чисел} \cdot (2 \cdot 5^2 + 4 \cdot 3^2) + 3672}{2} \]

8. Подставив значения, мы можем найти ответ.