Может ли на доске в определенный момент времени появиться число 2021, если на доске последовательно написаны числа

Давайте посмотрим на каждый шаг процесса, чтобы определить, может ли число 2021 появиться на доске.

Исходно на доске написаны числа от 1 до 5:

\[1, 2, 3, 4, 5\]

На первом шаге каждому числу прибавляется сумма его двух соседей. Рассмотрим процесс для каждого числа:

Для числа 1: соседей у него только один - число 2. Следовательно, после первого шага получаем:

\[2, 2, 3, 4, 5\]

Для числа 2: у него два соседа - числа 2 и 3. Их сумма равна 5. Следовательно, после первого шага получаем:

\[2, 5, 3, 4, 5\]

Для числа 3: у него два соседа - числа 5 и 3. Их сумма равна 8. Следовательно, после первого шага получаем:

\[2, 5, 8, 4, 5\]

Для числа 4: у него два соседа - числа 8 и 4. Их сумма равна 12. Следовательно, после первого шага получаем:

\[2, 5, 8, 12, 5\]

Для числа 5: соседей у него только один - число 5. Следовательно, после первого шага получаем:

\[2, 5, 8, 12, 5\]

Таким образом, после первого шага на доске имеем следующую последовательность чисел:

\[2, 5, 8, 12, 5\]

На втором шаге процесс повторяется. Применяем операцию к каждому числу:

Для числа 2: соседей у него только один - число 5. Следовательно, после второго шага получаем:

\[5, 5, 8, 12, 5\]

Для числа 5: у него два соседа - числа 5 и 8. Их сумма равна 13. Следовательно, после второго шага получаем:

\[5, 13, 8, 12, 5\]

Для числа 8: у него два соседа - числа 13 и 8. Их сумма равна 21. Следовательно, после второго шага получаем:

\[5, 13, 21, 12, 5\]

Для числа 12: у него два соседа - числа 21 и 12. Их сумма равна 33. Следовательно, после второго шага получаем:

\[5, 13, 21, 33, 5\]

Для числа 5: соседей у него только один - число 5. Следовательно, после второго шага получаем:

\[5, 13, 21, 33, 5\]

Можно заметить, что наша последовательность чисел начинает повторяться после второго шага. Все числа, полученные после второго шага, будут повторяться бесконечное количество раз.

Таким образом, наша последовательность чисел будет выглядеть следующим образом:

\[2, 5, 8, 12, 5, 13, 21, 33, 5, 13, 21, 33, ...\]

Отсюда мы можем сделать вывод, что число 2021 никогда не появится на доске, так как оно не входит в эту повторяющуюся последовательность чисел.