Mostrar que la expresión ( 37^{n+2} + 16^{n+1} + 23^n ) es divisible por 7 para cualquier número natural

Для доказательства делимости выражения \( 37^{n+2} + 16^{n+1} + 23^n \) на 7 для любого натурального числа \( n \), нам необходимо воспользоваться малой теоремой Ферма.

Малая теорема Ферма утверждает, что если \( p \) — простое число, а \( a \) — целое число, не кратное \( p \), то \( a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \).

Теперь давайте приступим к решению:

1. Разложим \( 37^{n+2} \) по модулю 7:
\[ 37^{n+2} = (36 + 1)^{n+2} = 36^{n+2} + C_{n+2}^{n+1} \cdot 36^{n+1} \cdot 1 + \ldots + 1^{n+2} \equiv 1^{n+2} = 1 \pmod{7} \]

2. Разложим \( 16^{n+1} \) по модулю 7:
\[ 16^{n+1} = (15 + 1)^{n+1} = 15^{n+1} + C_{n+1}^{n} \cdot 15^n \cdot 1 + \ldots + 1^{n+1} \equiv 1^{n+1} = 1 \pmod{7} \]

3. Разложим \( 23^n \) по модулю 7:
\[ 23^n = (21 + 2)^n = 21^n + C_{n}^{1} \cdot 21^{n-1} \cdot 2 + \ldots + 2^n \]

Теперь заметим, что \( 21^n \) делится на 7, так как 21 кратно 7. Следовательно, остается показать, что \( 2^n \) также делится на 7.

Рассмотрим последовательность остатков при делении степеней числа 2 на 7:
- \( 2^1 \equiv 2 \pmod{7} \)
- \( 2^2 \equiv 4 \pmod{7} \)
- \( 2^3 \equiv 1 \pmod{7} \)
- \( 2^4 \equiv 2 \pmod{7} \) и так далее...

Таким образом, очевидно, что \( 2^n \) делится на 7, когда \( n \) кратно 3 (поскольку \( 2^3 \equiv 1 \pmod{7} \)).

Следовательно, выражение \( 37^{n+2} + 16^{n+1} + 23^n \) делится на 7 для любого натурального числа \( n \).