Куб abcda1b1c1d1 имеет ребро длиной 1. На ребрах b1c1 и c1d1 есть точки n и m соответственно. Отношение b1n:nc1 равно

Хорошо, начнем с построения рисунка, чтобы прояснить задачу. Мы имеем куб ABCDA1B1C1D1 со стороной длиной 1. На ребре B1C1 есть точка N, а на ребре C1D1 - точка M.

Из условия мы знаем, что отношение B1N к NC1 равно 1:1, а отношение C1M к MD1 также равно 1:1.

Для нахождения косинуса угла α между прямыми BN и CM, нам необходимо найти векторы, соответствующие этим прямым.

Давайте приступим к решению.

1. Найдем вектор BN:
Вектор BN можно найти как разность координат точек B1 и N. Поскольку отношение B1N к NC1 равно 1:1, координаты точки N будут равны (1, 0, 0), поскольку N находится на середине ребра B1C1.

Значит, вектор BN = (1 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (1, 0, 0).

2. Найдем вектор CM:
Вектор CM можно найти как разность координат точек C1 и M. Поскольку отношение C1M к MD1 также равно 1:1, координаты точки M будут равны (0, 0, 1), так как точка M находится на середине ребра C1D1.

Значит, вектор CM = (0 - 0, 0 - 0, 1 - 0) = (0, 0, 1).

3. Теперь, когда у нас есть векторы BN и CM, мы можем использовать формулу косинуса угла между векторами:

\[ \cos(\alpha) = \frac{{\mathbf{BN} \cdot \mathbf{CM}}}{{\|\mathbf{BN}\| \cdot \|\mathbf{CM}\|}} \]

Где \(\cdot\) обозначает скалярное произведение векторов, а \(\|\mathbf{BN}\|\) и \(\|\mathbf{CM}\|\) - их длины.

4. Вычислим сначала скалярное произведение векторов BN и CM:
\[ \mathbf{BN} \cdot \mathbf{CM} = (1 \cdot 0) + (0 \cdot 0) + (0 \cdot 1) = 0 \]

5. Затем найдем длины векторов BN и CM:
Длина вектора BN:
\[ \|\mathbf{BN}\| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1 \]
Длина вектора CM:
\[ \|\mathbf{CM}\| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1 \]

6. Подставляем полученные значения в формулу косинуса угла:
\[ \cos(\alpha) = \frac{0}{{1 \cdot 1}} = 0 \]

7. Итак, косинус угла α между прямыми BN и CM равен 0.

Резюмируя, косинус угла α между прямыми BN и CM равен 0. Это означает, что угол α равен 90 градусов (прямой угол), так как косинус угла равен 0 при угле 90 градусов.