Куб ABCDA1B1C1D1 имеет ребро длиной 1, и точка O является центром грани ABCD. С помощью метода координат необходимо

Хорошо, давайте решим данную задачу методом координат. Для начала, обозначим координаты точек куба:
\(A (0, 0, 0)\), \(B (1, 0, 0)\), \(C (1, 1, 0)\), \(D (0, 1, 0)\),
\(A_1 (0, 0, 1)\), \(B_1 (1, 0, 1)\), \(C_1 (1, 1, 1)\), \(D_1 (0, 1, 1)\).

Так как точка \(O\) является центром грани ABCD, то получаем:
\(O = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)\).

Теперь, рассмотрим уравнения прямых \(A_1D\) и \(B_1O\):
Уравнение прямой \(A_1D\) задается двумя точками \(A_1\) и \(D\), поэтому можем записать его:
\(\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}\).

Подставляем значения точек \(A_1\) и \(D\) в формулу:
\(\frac{x - 0}{0 - 0} = \frac{y - 0}{0 - 1} = \frac{z - 1}{1 - 0}\).
Упрощаем это уравнение: \(\frac{y}{-1} = \frac{z - 1}{1}\).

Уравнение прямой \(B_1O\) также легко записать с использованием двух точек \(B_1\) и \(O\):
\(\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}\).

Подставляем значения точек \(B_1\) и \(O\) в формулу:
\(\frac{x - 1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{y - 0}{0 - \frac{1}{2}} = \frac{z - 1}{\frac{1}{2} - 0}\).
Упрощаем это уравнение: \(2x - 2 = -2y\).

Теперь у нас есть два уравнения для прямых \(A_1D\) и \(B_1O\). Чтобы найти угол между ними, мы можем использовать следующую формулу для косинуса угла между двумя прямыми в трехмерном пространстве:
\[\cos\theta = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\],
где \(a_1, b_1, c_1\) — коэффициенты первого уравнения прямой, а \(a_2, b_2, c_2\) — коэффициенты второго уравнения прямой.

Используя это уравнение, найдем значения коэффициентов для обоих прямых:
Для прямой \(A_1D\) получаем:
\(a_1 = 0, b_1 = -1, c_1 = 1\),
Для прямой \(B_1O\) получаем:
\(a_2 = 2, b_2 = -2, c_2 = 0\).

Подставляем полученные значения в формулу для косинуса угла:
\[\cos\theta = \frac{0\cdot2 + (-1)\cdot(-2) + 1\cdot0}{\sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2}\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 0^2}}\].

Упрощаем выражение в числителе и знаменателе:
\[\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{2}\sqrt{8}} = \frac{2}{\sqrt{2\cdot8}} = \frac{2}{\sqrt{16}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\].

Теперь найдем значение угла \(\theta\):
\(\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\).

Вычисляем арккосинус:
\[\theta = \frac{\pi}{3} \approx 1.047 \text{ радиан} \approx 60^\circ\].

Таким образом, угол между прямыми \(A_1D\) и \(B_1O\) составляет приблизительно \(60^\circ\).

Чтобы найти расстояние от точки \(B\) до середины отрезка \(A_1D\), сначала найдем координаты середины отрезка \(A_1D\). Середина отрезка может быть найдена путем нахождения среднего значения координат точек \(A_1\) и \(D\).

Координаты точек \(A_1\) и \(D\) равны \(A_1(0, 0, 1)\) и \(D(0, 1, 0)\) соответственно. Подсчитаем средние значения по каждой координате:
\[
\frac{{0 + 0}}{2} = 0, \quad
\frac{{0 + 1}}{2} = \frac{1}{2}, \quad
\frac{{1 + 0}}{2} = \frac{1}{2}.
\]

Получаем, что координаты середины отрезка \(A_1D\) равны \(\left(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\).

Теперь рассчитаем расстояние между точкой \(B\) и найденной серединой отрезка \(A_1D\). Расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками:
\[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}.
\]

Подставим значения координат точек \(B\) и середины отрезка \(A_1D\) в эту формулу:
\[
d = \sqrt{\left(1-0\right)^2 + \left(0-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(0-\frac{1}{2}\right)^2}.
\]

Сокращаем выражение в скобках:
\[
d = \sqrt{1 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2}.
\]

Выполняем вычисления:
\[
d = \sqrt{1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{6}{4}} = \sqrt{\frac{3}{2}}.
\]

Таким образом, расстояние от точки \(B\) до середины отрезка \(A_1D\) равно \(\sqrt{\frac{3}{2}}\).

Чтобы проиллюстрировать ответ, предоставлю рисунок:

A1___________B1
/ | /|
/ | / |
A /___|_________/ |
D1 | B |
| | ________|__|
| /D | /
| / | /
| / |/
C1------------C

Рисунок показывает куб ABCDA1B1C1D1, где ABCD - квадратная основа, A1B1C1D1 - верхняя квадратная грань. O - центр грани ABCD. Также показаны прямые A1D (перечеркнутая линия) и B1O (заштрихованная линия). Точка B обозначена на рисунке, а середина отрезка A1D обозначена буквой M.

Надеюсь, что подробный ответ и рисунок помогут вам понять задачу и ее решение. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их!