Контрольная работа номер 4 Тема: Функции, их свойства и графики Вариант – 1 1. Если зависимость между переменными x

1.
а) Для того чтобы выразить функцию явно из уравнения 5x + 2y = 1, мы должны изолировать переменную y. Проведем несколько действий:

5x + 2y = 1
2y = 1 - 5x (вычтем 5x из обеих частей)
y = (1 - 5x)/2 (разделим обе части на 2)

Таким образом, функция явно выражается как y = (1 - 5x)/2.

Чтобы построить график этой функции, мы можем использовать точки на плоскости. Выберем несколько значений для x, подставим их в функцию и найдем соответствующие значения y. Взяв несколько точек, мы сможем построить график.

Например, при x = 0, y = (1 - 5*0)/2 = 1/2. Имеем точку (0, 1/2).
При x = 1, y = (1 - 5*1)/2 = -2. Имеем точку (1, -2).
При x = 2, y = (1 - 5*2)/2 = -4. Имеем точку (2, -4).

Продолжим этот процесс и построим график.

б) Для выражения функции явно из уравнения x + y = 1, проведем следующие действия:

x + y = 1
y = 1 - x

Таким образом, функция явно выражается как y = 1 - x.

График этой функции - это линия на плоскости. Мы можем взять несколько значений для x, найти соответствующие значения y и нарисовать точки, чтобы построить график.

в) Для выражения функции явно из уравнения x/y = y/x, проведем следующие действия:

x/y = y/x
x^2 = y^2
x = ±y

Функция явно выражается как x = ±y.

На графике функция будет выглядеть как две прямые, проходящие через начало координат и образующие угол 45 градусов.

2.
а) Для нахождения области определения функции f(x) = x/(x+4), мы должны исключить значения x, при которых знаменатель равен нулю. В данном случае, x + 4 не может быть равно нулю, поэтому мы исключаем значение -4.

Таким образом, область определения функции f(x) = x/(x+4) - это множество всех действительных чисел, кроме -4.

б) Для нахождения области определения функции f(x) = √x/(x-2), мы должны исключить значения x, при которых знаменатель равен нулю и при которых аргумент под корнем меньше или равен нулю.

Знаменатель x - 2 не может быть равен нулю, поэтому исключаем значение 2.
Также аргумент под корнем должен быть положительным числом, поэтому исключаем значения x, при которых x ≤ 0.

Таким образом, область определения функции f(x) = √x/(x-2) - это множество всех положительных чисел больше нуля, кроме значения x = 2.

3.
Функция f(x) = √(x+9).
Вычислим значения этой функции для различных значений x:

a) При x = 1:
f(1) = √(1+9) = √10

b) При x = -3:
f(-3) = √(-3+9) = √6

c) При x = t/2:
f(t/2) = √((t/2) + 9) = √((t+18)/2)

d) При x = t+1:
f(t + 1) = √((t + 1) + 9) = √(t + 10)

e) При x = √t:
f(√t) = √(√t + 9) = √(√t + 9)

f) При x = -4:
f(-4) = √(-4 + 9) = √5

g) При x = 1/t:
f(1/t) = √((1/t) + 9) = √((1 + 9t)/t)

Таким образом, значения функции f(x) для данных значений x будут равны:

a) f(1) = √10
b) f(-3) = √6
c) f(t/2) = √((t+18)/2)
d) f(t + 1) = √(t + 10)
e) f(√t) = √(√t + 9)
f) f(-4) = √5
g) f(1/t) = √((1 + 9t)/t)

4.
Функция f(x) = 2x - 3 с областью определения D: R.
Для того чтобы найти обратную функцию, мы должны поменять местами переменные x и y и решить уравнение относительно y.

x = 2y - 3
2y = x + 3
y = (x + 3)/2

Обратная функция выражается явно как y = (x + 3)/2.

Область определения обратной функции такая же, как и у исходной функции, D: R.