Контрольная работа номер 3 на тему Признаки подобия треугольников Изображение 1 показывает треугольники АВ

Детальное решение для задачи о параллелограммах:

а) Нам нужно доказать, что отношение отрезков АО к ОС равно отношению отрезков ВО к OD.

Для того чтобы доказать подобие треугольников АВО и СDО, нам нужно убедиться, что углы АВО и СDО равны между собой, а также что углы ВАО и ОСD также равны между собой.

Рассмотрим углы АВО и СDО. Угол АВО - это внутренний угол параллелограмма, а угол СDО - это его внешний угол. Мы знаем, что внутренний и внешний углы, образуемые двумя параллельными прямыми, равны друг другу. Таким образом, углы АВО и СDО равны.

Рассмотрим углы ВАО и ОСD. Угол ВАО - это внутренний угол параллелограмма, а угол ОСD - его внешний угол. Мы также знаем, что внутренний и внешний углы, образуемые двумя параллельными прямыми, равны друг другу. Таким образом, углы ВАО и ОСD тоже равны.

Теперь мы можем сделать вывод, что треугольники АВО и СDО подобны друг другу по признаку "(у)гол - угол - угол" (УУУ). Из подобия треугольников следует, что отношение длин соответствующих сторон будет одинаковым.

Таким образом, АО : ОС = ВО : OD.

б) Чтобы найти значение AB, мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике ABO.

Мы знаем, что OD = 15 см, OB = 9 см и CD = 25 см.

Так как треугольники АВО и СDО подобны, мы можем сказать, что соотношение сторон AB к CD будет такое же, как соотношение сторон OB к OD.

Таким образом, AB : CD = OB : OD.

Подставляя значения, получаем AB : 25 = 9 : 15.

Кратим дробь: AB/25 = 9/15.

Умножаем обе части уравнения на 25, чтобы избавиться от знаменателя: AB = (9/15) * 25.

Выполняем несложные вычисления: AB = 3 * 5 = 15 см.

Ответ: AB = 15 см.

В следующей части задачи нам нужно найти отношение площадей треугольников ABC и KMN.

У нас есть следующие данные: AB = 8 см, вс = 12 см, AC = 16 см, КМ = 10 см, MN = 15 см и NK = 20 см.

Для нахождения отношения площадей двух треугольников необходимо найти отношение квадратов их сторон. В данном случае, мы можем найти отношение площадей треугольников ABC и KMN как отношение площади ABC к площади KMN.

Площадь треугольника можно найти с использованием формулы Герона: площадь = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\), где s - полупериметр треугольника, a, b, c - длины сторон треугольника.

Для треугольника ABC:
s = (AB + AC + BC)/2 = (8 + 16 + 12)/2 = 36/2 = 18 см.
Площадь ABC = \(\sqrt{18(18-8)(18-16)(18-12)}\).
Площадь ABC = \(\sqrt{18*10*2*6}\).
Площадь ABC = \(\sqrt{2160}\).
Площадь ABC ≈ 46.57 см² (округляем до двух знаков после запятой).

Для треугольника KMN:
s = (KM + MN + NK)/2 = (10 + 15 + 20)/2 = 45/2 = 22.5 см.
Площадь KMN = \(\sqrt{22.5(22.5-10)(22.5-15)(22.5-20)}\).
Площадь KMN = \(\sqrt{22.5*12.5*7.5*2.5}\).
Площадь KMN = \(\sqrt{16406.25}\).
Площадь KMN ≈ 128.05 см² (округляем до двух знаков после запятой).

Теперь мы можем найти отношение площадей: площадь ABC / площадь KMN ≈ 46.57 / 128.05 ≈ 0.363.

Ответ: отношение площадей треугольников ABC и KMN ≈ 0.363.

В последней части задачи нам нужно найти периметр треугольника ВМК и периметр треугольника ВАС.

Мы знаем, что прямая пересекает стороны треугольника АВС в точках М и К таким образом, что МК параллельна AC, и отношение BM к AM равно 1:4.

Это означает, что отношение длины отрезка BM к длине отрезка AM равно 1/4. То есть BM = (1/4) * AM.

Мы также знаем, что BM + AM = AB.

Подставляя значения, получаем (1/4) * AM + AM = 8.

Для нахождения значения AM решим уравнение: (1/4) * AM + AM = 8.

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя: AM + 4AM = 32.

Выполняем несложные вычисления: 5AM = 32.

Делим обе части уравнения на 5, чтобы найти значение AM: AM = 32/5.

Выполняем десятичное деление: AM ≈ 6.4 см.

Так как BM = (1/4) * AM, то BM = (1/4) * 6.4.

Выполняем несложные вычисления: BM = 1.6 см.

Теперь мы можем найти периметр треугольника BМК: периметр BМК = BM + МK + KB.

Мы знаем, что BM = 1.6 см.

Чтобы найти МК, нам нужно вычислить разность сторон АС и АМ: МК = АС - АМ.

Мы знаем, что AC = 16 см и AM ≈ 6.4 см.

Выполняем несложные вычисления: МК ≈ 16 - 6.4 ≈ 9.6 см.

Наконец, чтобы найти KB, мы можем использовать отношение BC к AC, которое равно 12/16 = 0.75.

Подставляя значения, получаем KB = 0.75 * BM.

Выполняем несложные вычисления: KB = 0.75 * 1.6 ≈ 1.2 см.

Теперь мы можем найти периметр треугольника BМК: периметр BМК = BM + МK + KB ≈ 1.6 + 9.6 + 1.2 ≈ 12.4 см.

Ответ: периметр треугольника BМК ≈ 12.4 см.

Чтобы найти периметр треугольника ВАС, мы можем использовать сумму длин его сторон: периметр ВАС = AB + AC + BC.

Мы знаем, что AB = 8 см, AC = 16 см и BC = 12 см.

Выполняем несложные вычисления: периметр ВАС = 8 + 16 + 12 = 36 см.

Ответ: периметр треугольника ВАС = 36 см.