Контрольная работа № 2 (геометрия 8 класс, УМК Погорелов) К-2. Вариант 1. 1. В треугольнике АВС существует средняя

Чтобы решить данное задание, давайте приступим к его анализу и решению.

1. а) Чтобы доказать, что полупериметр треугольника КВМ равен половине периметра треугольника АВС, мы можем воспользоваться свойством средней линии в треугольнике.
Средняя линия делит сторону треугольника на две равные части и соединяет срединные точки противоположных сторон.
Заметим, что средняя линия КМ делит сторону АВ пополам, а также сторону ВС пополам.
Пусть АВ = 2a и ВС = 2b, где a и b - длины отрезков АК и КМ соответственно.

Так как средняя линия делит стороны АВ и ВС пополам, то получаем:
AK = KB = a,
CM = BM = b.

Используем это свойство для доказательства.
Периметр треугольника АВС равен сумме длин его сторон:
\(AB + BC + CA = 2a + 2b + 2a = 4a + 2b\).

Теперь рассмотрим треугольник КВМ. У него стороны КВ и ВМ равны половине сторон треугольника АВС:
\(KB = a\) и \(BM = b\).

Полупериметр треугольника КВМ равен сумме длин его сторон, деленной на 2:
\(\frac{KB + BM + KM}{2} = \frac{a + b + a}{2} = \frac{2a + b}{2}\).

Мы должны доказать, что полупериметр треугольника КВМ равен половине периметра треугольника АВС:
\(\frac{2a + b}{2} = \frac{4a + 2b}{2}\).

Теперь сократим дробь на 2:
\(2a + b = 4a + 2b\).

Вычтем \(2a\) и \(2b\) из обеих частей равенства:
\(b = 2a\).

Мы видим, что \(b\) равно удвоенной длине \(a\).

Таким образом, мы доказали, что полупериметр треугольника КВМ равен половине периметра треугольника АВС.

б) Чтобы найти периметр треугольника КВМ, нам нужно знать длину его сторон. Мы знаем, что сторона треугольника АВС равна 6 см.

Согласно а) пункту, сторона КВ равна половине стороны АВ, то есть \(KB = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3\) см.
Аналогично, сторона ВМ равна половине стороны ВС, то есть \(BM = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3\) см.

Чтобы найти сторону КМ, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника КВС:
\(КС^2 = КВ^2 + ВС^2\).

Подставляем значения в формулу:
\(КС^2 = 3^2 + 6^2\),
\(КС^2 = 9 + 36\),
\(КС^2 = 45\).

Извлекаем квадратный корень:
\(КС = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\) см.

Теперь мы знаем длины всех сторон треугольника КВМ:
\(KB = 3\) см,
\(BM = 3\) см,
\(KM = 3\sqrt{5}\) см.

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:
\(П = KB + BM + KM = 3 + 3 + 3\sqrt{5}\) см.

Ответ: Периметр треугольника КВМ равен \(6 + 3\sqrt{5}\) см.

2. Мы не видим продолжения текста задачи, поэтому не можем дать ответ на этот вопрос. Если у вас есть дополнительная информация о данной задаче, пожалуйста, предоставьте ее, и мы с удовольствием решим эту задачу в полной мере.