контрольная работа № 1. г – 8. вариант – 4. 1. Найдите длины сторон параллелограмма, если периметр составляет 60

Разберем по очереди каждую задачу.

1. Нам известно, что периметр параллелограмма составляет 60 см, а одна сторона на 6 см короче другой. Пусть \(x\) - длина более длинной стороны параллелограмма, тогда длина другой стороны будет \(x - 6\). Периметр параллелограмма вычисляется как сумма длин всех его сторон: \(2x + 2(x - 6) = 60\). Решим это уравнение:
\[
2x + 2(x - 6) = 60 \\
2x + 2x - 12 = 60 \\
4x - 12 = 60 \\
4x = 72 \\
x = 18
\]
Таким образом, длина более длинной стороны равна 18 см, а длина другой стороны - 12 см.

2. Мы знаем, что угол между диагоналями прямоугольника составляет 80 градусов. Чтобы найти угол между одной из диагоналей и меньшей стороной прямоугольника, нам нужно понять, какими свойствами обладают диагонали и углы прямоугольника. В прямоугольнике, две диагонали равны между собой и делят его на четыре равных треугольника. Таким образом, если угол между диагоналями равен 80 градусам, то каждый из четырех треугольников имеет угол в 20 градусов (так как сумма углов треугольника равна 180 градусам). Значит, угол между одной из диагоналей и меньшей стороной составляет 20 градусов.

3. Пусть \(h\) - высота параллелограмма, а \(a\) - перпендикулярная сторона. У нас задано, что одна из диагоналей параллелограмма является его высотой и равна половине перпендикулярной стороны. То есть, \(h = \frac{1}{2}a\). У параллелограмма противоположные стороны и углы равны, поэтому другая диагональ тоже будет равна \(h\). Так как диагонали параллелограмма делят его на четыре равных треугольника, мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. Изобразим параллелограмм, чтобы понять его углы:

   B ____ C

    /    \

   /______\

 A           D

У нас есть два равных треугольника: ABC и BCD. Оба угла ABC и BCD равны, так как противоположные стороны и углы параллелограмма равны. Также, угол ABD равен углу CAB (так как AC - биссектриса угла A). Из этих свойств следует, что у четырехугольника ABCD угол BAD равен углу BAC.

Таким образом, задача сводится к нахождению двух углов: BAC и BCD. У нас уже есть угол BAC, равный 20 градусам из предыдущей задачи. Для нахождения угла BCD воспользуемся свойством параллелограмма: сумма углов при основании (BCD и BDC) равна 180 градусам. Итак:
\[
180 - 20 = 160
\]
То есть, угол BCD равен 160 градусов. Так как у параллелограмма противоположные углы равны, углы BAD и CDA тоже равны по 160 градусов.

4. Пусть \(AV\) - длина отрезка AV, \(AC\) - диагональ параллелограмма. Мы знаем, что диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD и является биссектрисой угла A. Также, мы знаем, что \(AV\) является биссектрисой угла ADC, а значит, углы CAV и CAD равны между собой. По свойству биссектрисы мы также знаем, что отношение отрезков, на которые она делит основание, равно отношению соседних сторон. В нашем случае это отношение равно:
\[
\frac{{AV}}{{VC}} = \frac{{AC}}{{CD}}
\]
Мы уже знаем, что диагональ AC равна двум отрезкам, поэтому \(AC = AV + VC\) и \(VC = AC - AV\). Подставим это значение в уравнение:
\[
\frac{{AV}}{{AC - AV}} = \frac{{AC}}{{CD}}
\]
Чтобы решить это уравнение, нам нужно знать значения остальных переменных. Если вы предоставите эти значения, я смогу продолжить решение задачи.