Когда звездный корабль будущего, двигающийся со скоростью v=0.8 с (с=3×10^8 м/с), вернется на Землю после путешествия

Для решения данной задачи нам необходимо использовать теорию относительности, согласно которой время для движущегося наблюдателя будет искажено. В данном случае наземные наблюдатели являются неподвижными, а космонавты движутся со скоростью 0.8 с.

Поэтому мы можем использовать формулу времени для движущегося наблюдателя \( t" = \frac{t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \), где \( t_0 = 10 \) лет (по часам космонавтов) - время для космонавтов, \( v = 0.8c \) - скорость космонавтов, \( c = 3×10^8 \) м/с - скорость света.

Подставим значения в формулу:
\[ t" = \frac{10}{\sqrt{1 - \frac{{(0.8 \cdot 3 \times 10^8)}^2}{{(3 \times 10^8)}^2}}} \]

Дальше мы можем выполнять вычисления:
\[ t" = \frac{10}{\sqrt{1 - \frac{{(0.8 \cdot 3 \times 10^8)}^2}{{3^2 \cdot (10^8)}^2}}} = \frac{10}{\sqrt{1 - \frac{{64 \cdot (10^8)^2}}{{9 \cdot (10^8)^2}}}} \]

Продолжим упрощать:
\[ t" = \frac{10}{\sqrt{1 - \frac{{64 \cdot 10^{16}}}{{9 \cdot 10^{16}}}}} = \frac{10}{\sqrt{1 - \frac{64}{9}}} \]

И далее можно исключить корень:
\[ t" = \frac{10}{\sqrt{\frac{9 - 64}{9}}} = \frac{10}{\sqrt{\frac{-55}{9}}} \]

Вспомним, что \(\sqrt{\frac{-a}{b}} = \frac{i \sqrt{a}}{\sqrt{b}}\), где \(i\) - мнимая единица.
\[ t" = \frac{10}{\frac{i \sqrt{55}}{3}} = \frac{30}{i \sqrt{55}} \]

Мы можем избавиться от мнимой единицы, умножив на \(i\):
\[ t" = \frac{30i}{\sqrt{55}} \]

Теперь мы знаем время для космонавтов по часам Земли - \( t" = \frac{30i}{\sqrt{55}} \) лет.

Теперь мы можем вычислить разницу во времени между космонавтами и землянами:
\[ \Delta t = t_0 - t" = 10 - \frac{30i}{\sqrt{55}} \approx 10 - 6.6036i \]

Итак, земляне будут старше космонавтов на примерно \( 10 - 6.6036i \) лет (по часам Земли). Обратите внимание, что часть ответа является мнимой числом, что указывает на изменение времени из-за относительности движения. Это может быть непривычно, но в теории относительности такие необычные результаты являются важными.