Когда можно сказать, что точка x1 является изображением точки x при гомотетии с центром o и коэффициентом?

Чтобы точка \(x_1\) являлась изображением точки \(x\) при гомотетии с центром \(o\) и коэффициентом \(k\), необходимо, чтобы расстояние между точкой \(x_1\) и центром \(o\) было равно произведению расстояния между точкой \(x\) и центром \(o\) на коэффициент \(k\). Давайте проиллюстрируем это шаг за шагом.

1. Расстояние между точкой \(x_1\) и центром \(o\) обозначим как \(d_1\).
2. Расстояние между точкой \(x\) и центром \(o\) обозначим как \(d\).
3. Расстояние между двумя точками можно найти с помощью теоремы Пифагора или по формуле расстояния между точками в декартовой системе координат: \(d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\), где \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) - координаты точек.
4. Если \(\frac{{d_1}}{{d}} = k\), то точка \(x_1\) является изображением точки \(x\) при гомотетии с центром \(o\) и коэффициентом \(k\).

Пример:
Пусть у нас есть гомотетия с центром в точке \(O(2, 3)\) и коэффициентом \(k = 2\). Нам нужно определить, является ли точка \(A(4, 7)\) изображением точки \(B(-1, 2)\).

1. Расстояние между \(A\) и \(O\): \(d_1 = \sqrt{{(4-2)^2 + (7-3)^2}} = \sqrt{8}\).
2. Расстояние между \(B\) и \(O\): \(d = \sqrt{{(-1-2)^2 + (2-3)^2}} = \sqrt{10}\).
3. Проверяем условие \(\frac{{d_1}}{{d}} = \frac{{\sqrt{8}}}{{\sqrt{10}}} \approx 0.9 \neq 2\).
4. Таким образом, точка \(A\) не является изображением точки \(B\) при данной гомотетии.

Информация про гомотетию и способ ее определения пригодятся школьникам при изучении геометрии. Удачи в учебе! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.