Когда будет достигнута постоянная скорость движения спортсмена, прыгающего с парашютом, имеющим форму шара с радиусом

Чтобы определить, когда будет достигнута постоянная скорость движения спортсмена с парашютом, имеющим форму шара, нам понадобится использовать уравнение движения для объекта, на котором действует сопротивление воздуха.

Прежде всего, нам понадобятся некоторые входные данные для расчета. У нас есть радиус парашюта \(r = 3.1\) метра, масса спортсмена \(m = 80\) кг и коэффициент лобового сопротивления \(c = 0.4\).

Уравнение движения для объекта с сопротивлением воздуха имеет вид:

\[F_{\text{сила сопротивления}} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot \rho \cdot A \cdot v^2\]

Где:
\(F_{\text{сила сопротивления}}\) - сила сопротивления воздуха
\(c\) - коэффициент лобового сопротивления
\(\rho\) - плотность воздуха (примем равной \(1.22 \, \text{кг/м}^3\))
\(A\) - площадь поперечного сечения парашюта (\(\pi \cdot r^2\))
\(v\) - скорость спортсмена

Сила сопротивления воздуха направлена противоположно движению спортсмена. Когда спортсмен достигнет постоянной скорости, сила сопротивления воздуха станет равной силе тяжести, вызывая установление равновесия. То есть:

\[F_{\text{сила сопротивления}} = F_{\text{тяжесть}}\]
\[\frac{1}{2} \cdot c \cdot \rho \cdot A \cdot v^2 = m \cdot g\]

Где:
\(F_{\text{тяжесть}}\) - сила тяжести массы спортсмена (\(m \cdot g\))
\(g\) - ускорение свободного падения (примем равным \(9.8 \, \text{м/с}^2\))

Теперь мы можем решить уравнение для поиска постоянной скорости спортсмена.

\[\frac{1}{2} \cdot c \cdot \rho \cdot A \cdot v^2 = m \cdot g\]

Подставим значения и рассчитаем:

\[\frac{1}{2} \cdot 0.4 \cdot 1.22 \cdot (\pi \cdot (3.1)^2) \cdot v^2 = 80 \cdot 9.8\]

\[0.2 \cdot 1.22 \cdot 3.1^2 \cdot \pi \cdot v^2 = 80 \cdot 9.8\]

\[v^2 = \frac{80 \cdot 9.8}{0.2 \cdot 1.22 \cdot 3.1^2 \cdot \pi}\]

\[v^2 \approx 181.78\]

Теперь найдем квадратный корень от обоих частей уравнения, чтобы найти значение скорости:

\[v \approx \sqrt{181.78}\]

\[v \approx 13.48\]

Таким образом, постоянная скорость спортсмена, прыгающего с парашютом, будет примерно \(13.48\) м/с.