Клумба, имеющая прямоугольную форму, была расширена путем увеличения длины и ширины на одно и то же целое число метров

Пусть исходные размеры клумбы составляют \(x\) метров по длине и \(y\) метров по ширине. После увеличения размеров на одно и то же целое число метров, длина клумбы станет \(x + a\), а ширина - \(y + a\), где \(a\) - это число метров, на которое увеличились размеры.

Таким образом, исходная площадь клумбы равна \(xy\) квадратных метров, а новая площадь клумбы, после увеличения размеров, равна \((x + a)(y + a)\) квадратных метров.

По условию задачи, новая площадь клумбы увеличилась на 100 квадратных метров, поэтому получаем уравнение:

\[(x + a)(y + a) - xy = 100\]

Раскрываем скобки:

\[xy + ax + ay + a^2 - xy = 100\]

Сокращаем одинаковые слагаемые:

\[ax + ay + a^2 = 100\]

Формируем выражение для площади клумбы:

\[a(x + y) + a^2 = 100\]

Так как \(a\) - целое число, то \(a\) должно быть делителем числа 100. Рассмотрим возможные значения \(a\), при которых это уравнение справедливо:

1) Если \(a = 1\), получаем:

\[1(x + y) + 1^2 = 100\]
\[x + y + 1 = 100\]
\[x + y = 99\]

2) Если \(a = 2\), получаем:

\[2(x + y) + 2^2 = 100\]
\[2x + 2y + 4 = 100\]
\[2x + 2y = 96\]
\[x + y = 48\]

3) Если \(a = 4\), получаем:

\[4(x + y) + 4^2 = 100\]
\[4x + 4y + 16 = 100\]
\[4x + 4y = 84\]
\[x + y = 21\]

Таким образом, возможные изменения размеров клумбы могут быть следующими:

1) Длина увеличилась на 1 метр, а ширина увеличилась на 1 метр.

2) Длина увеличилась на 2 метра, а ширина увеличилась на 2 метра.

3) Длина увеличилась на 4 метра, а ширина увеличилась на 4 метра.