Какую точность измеряемой длины волокна можно обеспечить с вероятностью 0.9, учитывая случайное отклонение

Чтобы определить точность измеряемой длины волокна с вероятностью 0.9, учитывая случайное отклонение от его стандартной длины, распределенное по нормальному закону с стандартным отклонением 2.5, мы можем использовать правило трех сигм.

Правило трех сигм гласит, что примерно 99.7% значений выборки находятся в пределах трех стандартных отклонений от среднего значения.

Давайте воспользуемся этим правилом для определения точности измерений с вероятностью 0.9. Поскольку мы хотим определить полосу значений, в которых находится 90% значений выборки, мы можем использовать только одно боковое отклонение.

$$P(\mu -2.5\le X\le \mu +2.5)=0.9$$

где $\mu$ - среднее значение длины волокна.

Чтобы найти точность измеряемой длины волокна, нам нужно решить это неравенство:

$$\mu -2.5\le X\le \mu +2.5$$

Разобьем его на две составляющие:

$$\mu -2.5\le X$$
$$X\le \mu +2.5$$

Теперь найдем значения $X$, удовлетворяющие данным неравенствам по отдельности. Для этого используем таблицы нормального распределения или стандартную нормальную функцию.

Учитывая, что стандартное отклонение равно 2.5, мы можем найти соответствующие значения $z$ для каждой из составляющих неравенств, используя соответствующие квантили нормального распределения.

$$\mu -2.5=\mu -2.5\cdot 1$$
$$X=\mu -2.5\cdot z_1$$

$$X=\mu +2.5\cdot z_2$$

где $z_1$ и $z_2$ - значения квантилей нормального распределения, соответствующие нижней и верхней границам выборки.

Поскольку мы хотим найти точность измерения с вероятностью 0.9, значения $z_1$ и $z_2$ соответствуют 0.05-му и 0.95-му квантилям стандартного нормального распределения.

Теперь рассмотрим таблицу нормального распределения или используем стандартную нормальную функцию для определения значений $z_1$ и $z_2$.
$z_1$ соответствует 0.05-му квантилю, а $z_2$ - 0.95-му квантилю.