Какую точность измеряемой длины волокна можно обеспечить с вероятностью 0.9, учитывая случайное отклонение

Чтобы определить точность измеряемой длины волокна с вероятностью 0.9, учитывая случайное отклонение от его стандартной длины, распределенное по нормальному закону с стандартным отклонением 2.5, мы можем использовать правило трех сигм.

Правило трех сигм гласит, что примерно 99.7% значений выборки находятся в пределах трех стандартных отклонений от среднего значения.

Давайте воспользуемся этим правилом для определения точности измерений с вероятностью 0.9. Поскольку мы хотим определить полосу значений, в которых находится 90% значений выборки, мы можем использовать только одно боковое отклонение.

\[P(\mu - 2.5 \leq X \leq \mu + 2.5) = 0.9\]

где \(\mu\) - среднее значение длины волокна.

Чтобы найти точность измеряемой длины волокна, нам нужно решить это неравенство:

\[\mu - 2.5 \leq X \leq \mu + 2.5\]

Разобьем его на две составляющие:

\[\mu - 2.5 \leq X\]
\[X \leq \mu + 2.5\]

Теперь найдем значения \(X\), удовлетворяющие данным неравенствам по отдельности. Для этого используем таблицы нормального распределения или стандартную нормальную функцию.

Учитывая, что стандартное отклонение равно 2.5, мы можем найти соответствующие значения \(z\) для каждой из составляющих неравенств, используя соответствующие квантили нормального распределения.

\[\mu - 2.5 = \mu - 2.5 \cdot 1\]
\[X = \mu - 2.5 \cdot z_1\]

\[X = \mu + 2.5 \cdot z_2\]

где \(z_1\) и \(z_2\) - значения квантилей нормального распределения, соответствующие нижней и верхней границам выборки.

Поскольку мы хотим найти точность измерения с вероятностью 0.9, значения \(z_1\) и \(z_2\) соответствуют 0.05-му и 0.95-му квантилям стандартного нормального распределения.

Теперь рассмотрим таблицу нормального распределения или используем стандартную нормальную функцию для определения значений \(z_1\) и \(z_2\).
\(z_1\) соответствует 0.05-му квантилю, а \(z_2\) - 0.95-му квантилю.