Какую температуру нужно установить для нагревания воздуха при постоянном давлении, чтобы поршень, движущийся

Для решения данной задачи воспользуемся законом Гей-Люссака для идеального газа, который устанавливает пропорциональность между давлением и температурой газа при постоянном объеме и количестве вещества.

Вначале нам необходимо найти значение абсолютной температуры воздуха до нагревания. Для этого воспользуемся уравнением состояния идеального газа:

\[PV = nRT\]

где P - давление, V - объем, n - количество вещества газа, R - универсальная газовая постоянная, T - абсолютная температура.

Преобразуем данное уравнение:

\[T = \frac{{PV}}{{nR}}\]

Значение давления P = 0.25 МПа = 250 кПа, объем V = 0.41 м^3, количество вещества n можно найти, используя уравнение идеального газа, где PV = nRT, исключив температуру:

\[n = \frac{{PV}}{{RT_1}}\]

где T_1 - температура воздуха до нагревания.

Теперь мы можем найти значение температуры T_1:

\[T_1 = \frac{{PV}}{{nR}}\]

Подставляем известные значения:

\[T_1 = \frac{{(250 \times 10^3)(0.41)}}{{\left(\frac{{250 \times 10^3 \times 0.41}}{{8.314}}\right)}}\]

Вычисляем:

\[T_1 = \frac{{102.5}}{{0.65124}}\]

\[T_1 \approx 157.48 \, К\]

Теперь, чтобы найти температуру, при которой поршень поднимется на 0.4 м, мы будем использовать состояние сжатия/расширения газа по закону Гей-Люссака:

\[\frac{{P_1}}{{T_1}} = \frac{{P_2}}{{T_2}}\]

где P_1 и T_1 - изначальные значения давления и температуры, P_2 и T_2 - искомые значения давления и температуры после нагревания.

Мы знаем, что при движении поршня без трения, изменение давления соответствует изменению высоты подъема поршня:

\[\frac{{P_1}}{{T_1}} = \frac{{P_2}}{{T_2}} = \frac{{V_1}}{{H + V_1}}\]

где V_1 - объем воздуха в цилиндре в начальный момент времени, H - изменение высоты подъема поршня.

Подставляем известные значения:

\[\frac{{250 \times 10^3}}{{157.48}} = \frac{{P_2}}{{T_2}} = \frac{{0.41}}{{0.4 + 0.41}}\]

Вычисляем:

\[P_2 = \frac{{250 \times 10^3 \times 0.41}}{{157.48}}\]

\[T_2 = \frac{{0.41}}{{0.4 + 0.41}} \times 157.48\]

\[P_2 \approx 648.82 \, кПа\]

\[T_2 \approx \frac{{0.41}}{{0.81}} \times 157.48\]

\[T_2 \approx 79.11 \, К\]

Таким образом, для поднятия поршня на 0,4 м при постоянном давлении необходимо установить температуру около 79.11 К.