Какую температуру имеет шарик 3, если несколько одинаковых теплопроводящих стержней соединены небольшими шариками

Для решения данной задачи можно использовать принцип сохранения тепла. По этому принципу, сумма тепловых потоков, проходящих через каждый участок, должна быть равна нулю.

Рассмотрим тепловые потоки в данной системе. Пусть \(T_1\) - температура шарика 1, \(T_2\) - температура шарика 2 и \(T_3\) - температура шарика 3.

Тепловой поток между шариками 1 и 3 равен тепловому потоку между шариками 2 и 3. Обозначим их через \(Q_1\) и \(Q_2\) соответственно.

Тепловой поток \(Q_1\) можно выразить с помощью формулы Фурье:
\[Q_1 = k \cdot S_1 \cdot \frac{{T_1 - T_3}}{{l_1}}\]
где \(k\) - коэффициент теплопроводности материала стержня, \(S_1\) - площадь поперечного сечения стержня, \(l_1\) - длина стержня 1.

Тепловой поток \(Q_2\) можно выразить аналогичным образом:
\[Q_2 = k \cdot S_2 \cdot \frac{{T_3 - T_2}}{{l_2}}\]
где \(S_2\) - площадь поперечного сечения стержня, \(l_2\) - длина стержня 2.

Так как тепловой поток из шарика 1 в шарик 3 равен тепловому потоку из шарика 2 в шарик 3, то:
\[Q_1 = Q_2\]
\[k \cdot S_1 \cdot \frac{{T_1 - T_3}}{{l_1}} = k \cdot S_2 \cdot \frac{{T_3 - T_2}}{{l_2}}\]

Учитывая, что \(S_1 = S_2 = S\) (так как площадь поперечного сечения шариков одинакова) и преобразуя уравнение, получаем:
\[\frac{{T_1 - T_3}}{{l_1}} = \frac{{T_3 - T_2}}{{l_2}}\]

Для решения задачи необходимо найти температуру шарика 3 (\(T_3\)). Для этого перенесем все слагаемые, связанные с \(T_3\), в левую часть уравнения, а константы в правую часть:
\[\frac{1}{{l_1}} \cdot T_1 - \frac{1}{{l_2}} \cdot T_2 = \frac{1}{{l_1}} \cdot T_3 + \frac{1}{{l_2}} \cdot T_3\]

Выразим \(T_3\):
\[\left(\frac{1}{{l_1}} + \frac{1}{{l_2}}\right) \cdot T_3 = \frac{1}{{l_1}} \cdot T_1 - \frac{1}{{l_2}} \cdot T_2\]

Теперь можем подставить известные значения:
\[\left(\frac{1}{{l_1}} + \frac{1}{{l_2}}\right) \cdot T_3 = \frac{1}{{l_1}} \cdot 50 - \frac{1}{{l_2}} \cdot 150\]

Допустим, у нас длины стержней равны \(l_1 = 3\) м и \(l_2 = 9\) м. Подставим значения:
\[\left(\frac{1}{{3}} + \frac{1}{{9}}\right) \cdot T_3 = \frac{1}{{3}} \cdot 50 - \frac{1}{{9}} \cdot 150\]

Выполняя вычисления, получаем:
\[\left(\frac{4}{{9}}\right) \cdot T_3 = \frac{50}{{3}} - \frac{150}{{9}}\]
\[\left(\frac{4}{{9}}\right) \cdot T_3 = \frac{50}{{3}} - \frac{50}{{3}}\]
\[\left(\frac{4}{{9}}\right) \cdot T_3 = 0\]

Таким образом, получаем, что температура шарика 3 (\(T_3\)) равна 0 градусов Цельсия.