Какую сумму необходимо найти для всех решений данного неравенства: |2x^2 - 20x+37|

Хорошо, давайте решим данную задачу пошагово. У нас есть неравенство |2x^2 - 20x + 37|. Чтобы понять, какую сумму необходимо найти, нам нужно разобраться в основной идеи задачи.

1. Начнем с раскрытия модуля. Когда модуль имеет вид |a|, мы можем разбить его на два случая: a и -a. В данном случае, наше неравенство может быть записано как 2x^2 - 20x + 37 или -(2x^2 - 20x + 37).

2. Разберемся с первым случаем: 2x^2 - 20x + 37.

Для начала найдем корни этого квадратного уравнения. Мы можем использовать формулу дискриминанта, которая выглядит следующим образом: \(D = b^2 - 4ac\), где a = 2, b = -20 и c = 37.

Вычисляем дискриминант: \(D = (-20)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 37 = 400 - 296 = 104\).

Теперь найдем корни уравнения, используя формулу \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

\(x_1 = \frac{-(-20) + \sqrt{104}}{2 \cdot 2} = \frac{20 + \sqrt{104}}{4} = \frac{20 + 2\sqrt{26}}{4} = \frac{10 + \sqrt{26}}{2}\).

\(x_2 = \frac{-(-20) - \sqrt{104}}{2 \cdot 2} = \frac{20 - \sqrt{104}}{4} = \frac{20 - 2\sqrt{26}}{4} = \frac{10 - \sqrt{26}}{2}\).

Таким образом, у нас есть два корня уравнения: \(x_1 = \frac{10 + \sqrt{26}}{2}\) и \(x_2 = \frac{10 - \sqrt{26}}{2}\).

3. Теперь разберемся со вторым случаем: -(2x^2 - 20x + 37).

Чтобы найти корни этого уравнения, мы можем изменить знаки перед коэффициентами и решить его так же, как первый случай.

Получаем: -2x^2 + 20x - 37.

Вычисляем дискриминант: \(D = 20^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-37) = 400 - 296 = 104\).

Найдем корни уравнения, используя формулу \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

\(x_3 = \frac{-20 + \sqrt{104}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-20 + 2\sqrt{26}}{-4} = \frac{-10 + \sqrt{26}}{2}\).

\(x_4 = \frac{-20 - \sqrt{104}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-20 - 2\sqrt{26}}{-4} = \frac{-10 - \sqrt{26}}{2}\).

Таким образом, у нас получились два корня: \(x_3 = \frac{-10 + \sqrt{26}}{2}\) и \(x_4 = \frac{-10 - \sqrt{26}}{2}\).

4. Теперь, когда у нас есть четыре корня, мы можем найти сумму всех решений.

Сумма всех решений будет выглядеть так: \(S = x_1 + x_2 + x_3 + x_4\).

Подставляя значения, получаем:

\(S = \frac{10 + \sqrt{26}}{2} + \frac{10 - \sqrt{26}}{2} + \frac{-10 + \sqrt{26}}{2} + \frac{-10 - \sqrt{26}}{2}\).

При сложении пар соответствующих членов видим, что \(\sqrt{26}\) и \(-\sqrt{26}\) сокращаются с друг другом:

\(S = \frac{10}{2} + \frac{-10}{2} = \frac{0}{2} = 0\).

Таким образом, сумма всех решений равна 0.

В итоге, мы нашли, что сумма всех решений данного неравенства |2x^2 - 20x + 37| равна 0.