Какую сумму ежегодного платежа должна сделать Екатерина, чтобы выплатить долг тремя равными ежегодными платежами?

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для выплат по кредиту или аннуитету, где нужно вычислить ежегодный платеж. Формула для ежегодного платежа при выплате долга аннуитетными платежами выглядит следующим образом:

\[A = \frac{D \cdot i \cdot (1 + i)^n}{(1 + i)^n - 1}\]

где:
- A - ежегодный платеж,
- D - сумма долга,
- i - годовая процентная ставка,
- n - число лет, на которое берется кредит.

Дано, что Екатерина хочет выплатить долг тремя равными ежегодными платежами. Это означает, что общая сумма платежей равна сумме долга:

\[A \cdot n = D\]

Мы можем использовать эту информацию для нахождения значений в формуле. Подставим \(D = A \cdot n\) в формулу:

\[A = \frac{A \cdot n \cdot i \cdot (1 + i)^n}{(1 + i)^n - 1}\]

Теперь проведем ряд преобразований для нахождения значения \(A\). Раскроем скобки в числителе:

\[A = \frac{A \cdot n \cdot i + A \cdot n \cdot i \cdot (1 + i)^{n-1}}{(1 + i)^n - 1}\]

Общий числитель содержит \(A\), поэтому мы можем вынести его за скобки:

\[A = A \cdot \frac{n \cdot i + n \cdot i \cdot (1 + i)^{n-1}}{(1 + i)^n - 1}\]

Теперь у нас есть уравнение, в котором \(A\) присутствует только в левой части. Мы можем избавиться от \(A\), разделив обе части на \(A\):

\[1 = \frac{n \cdot i + n \cdot i \cdot (1 + i)^{n-1}}{(1 + i)^n - 1}\]

Далее мы можем умножить обе части на знаменатель в правой части:

\[(1 + i)^n - 1 = n \cdot i + n \cdot i \cdot (1 + i)^{n-1}\]

Раскроем скобки в правой части:

\[(1 + i)^n - 1 = n \cdot i + n \cdot i \cdot (1 + i)^{n-1}\]

Чтобы упростить уравнение, вынесем \(n \cdot i\) за скобки в правой части:

\[(1 + i)^n - 1 = n \cdot i \cdot (1 + (1 + i)^{n-1})\]

Осталось избавиться от скобок в правой части:

\[(1 + i)^n - 1 = n \cdot i \cdot (1 + (1 + i)^{n-1})\]

Теперь мы можем выразить \(i\) в виде отношения \(\text{долга}/(n \cdot A)\) и заменить его в уравнении:

\[(1 + (\frac{D}{n \cdot A}))^n - 1 = \frac{D}{A} \cdot (1 + (1 + (\frac{D}{n \cdot A}))^{n-1})\]

Мы получили сложное уравнение, в котором мы не можем найти явное значение для \(A\). Решить его можно только численно или с использованием калькулятора.