Какую скорость v должен был иметь поезд массой m=3000 т, чтобы его масса увеличилась на 1 грамм из-за релятивистских

Чтобы определить скорость поезда, при которой его масса увеличивается на 1 грамм из-за релятивистских эффектов, мы можем использовать знаменитую формулу, известную как формула энергии для движения частицы:

\[E = \gamma mc^2,\]

где \(E\) - полная энергия частицы, \(\gamma\) - гамма-фактор, \(m\) - масса частицы, и \(c\) - скорость света. Поскольку нам известно, что масса поезда увеличивается на 1 грамм (\(dm = 0.001 \, \text{кг}\)), мы хотим найти скорость поезда \(v\).

Сначала найдем начальную энергию поезда. Для этого мы можем использовать известную формулу для энергии:

\[E = mc^2.\]

Подставим значения в формулу:

\[E = 3000 \, \text{т} \times (3 \times 10^8 \, \text{м/с})^2.\]

Раскроем скобки и выполним вычисления:

\[E = 3000 \times 9 \times 10^{16} \, \text{Дж}.\]

Теперь мы можем использовать эту энергию, чтобы найти гамма-фактор, связанный с увеличением массы поезда:

\[E = \gamma mc^2 \Rightarrow \gamma mc^2 = dm c^2,\]

где \(dm\) - изменение массы поезда. Подставим известные значения:

\[\gamma \times 3000 \times 9 \times 10^{16} \, \text{Дж} = 0.001 \, \text{кг} \times (3 \times 10^8 \, \text{м/с})^2.\]

Раскроем скобки и поделим обе части уравнения на \(mc^2\):

\[\gamma = \frac{dm}{m}.\]

Теперь, зная, что гамма-фактор связан с скоростью, мы можем записать:

\[\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}.\]

Подставим значение \(\gamma\) для увеличения массы поезда и решим уравнение относительно \(v\):

\[\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{dm}{m}.\]

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знаменателя:

\[1 - \frac{v^2}{c^2} = \left(\frac{dm}{m}\right)^2.\]

Решим это уравнение относительно \(v\):

\[\frac{v^2}{c^2} = 1 - \left(\frac{dm}{m}\right)^2.\]

\[v^2 = c^2 - c^2 \left(\frac{dm}{m}\right)^2.\]

\[v = \sqrt{c^2 - c^2 \left(\frac{dm}{m}\right)^2}.\]

Теперь мы можем вычислить значение скорости \(v\):

\[v = \sqrt{(3 \times 10^8 \, \text{м/с})^2 - (3 \times 10^8 \, \text{м/с})^2 \times \left(\frac{0.001 \, \text{кг}}{3000 \, \text{т}}\right)^2}.\]

\[v = \sqrt{9 \times 10^{16} \, \text{м}^2/\text{с}^2 - 9 \times 10^{16} \, \text{м}^2/\text{с}^2 \times (3 \times 10^{-4})^2}.\]

Выполним вычисления и найдем окончательный ответ:

\[v = \sqrt{9 \times 10^{16} \, \text{м}^2/\text{с}^2 - 9 \times 10^{16} \, \text{м}^2/\text{с}^2 \times 9 \times 10^{-8}}.\]

\[v = \sqrt{9 \times 10^{16} \, \text{м}^2/\text{с}^2 - 9 \times 10^{8} \, \text{м}^2/\text{с}^2}.\]

\[v = \sqrt{8 \times 10^{16} \, \text{м}^2/\text{с}^2}.\]

\[v = \sqrt{8} \times 10^8 \, \text{м/с}.\]

Таким образом, чтобы масса поезда увеличилась на 1 грамм из-за релятивистских эффектов, необходимо, чтобы скорость поезда составляла \(\sqrt{8} \times 10^8\) м/с.