Какую систему можно составить для решения задачи? Из посёлка Хвойное две группы туристов одновременно отправились

Для решения данной задачи необходимо составить систему уравнений на основе данных условий. Учитывая, что одна группа движется на юг, а вторая на запад, можно представить путь каждой группы в виде отрезков на координатной плоскости, где величина перемещения по оси OX соответствует движению на запад, а по оси OY - движению на юг.

Пусть длина пути первой группы будет обозначена как \(x\) км, а длина пути второй группы - как \(y\) км.

Из условия задачи известно, что через 4 часа группы находились на расстоянии 24 км друг от друга. Это означает, что сумма квадратов расстояний, пройденных каждой группой, равна 24:

\[x^2 + y^2 = 24\]

Также известно, что первая группа преодолела на 2 км больше пути, чем вторая группа:

\[x - y = 2\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений, которую необходимо решить. Воспользуемся методом подстановки или методом исключения, чтобы найти значения переменных \(x\) и \(y\).

Исключим переменную \(x\) из первого уравнения, выразив её через \(y\) из второго уравнения:

\[x = y + 2\]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[(y + 2)^2 + y^2 = 24\]

Раскроем скобки:

\[y^2 + 4y + 4 + y^2 = 24\]

Сгруппируем одночлены:

\[2y^2 + 4y + 4 = 24\]

Перенесём число 24 в правую часть:

\[2y^2 + 4y - 20 = 0\]

Разделим все коэффициенты на 2:

\[y^2 + 2y - 10 = 0\]

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся квадратным корнем и факторизацией, чтобы разложить его на множители:

\[(y - 2)(y + 5) = 0\]

Из этого получаем два возможных значения для переменной \(y\):

\[y_1 = 2 \quad \text{или} \quad y_2 = -5\]

Теперь найдем соответствующие значения для переменной \(x\) с использованием первого уравнения:

\[x_1 = y_1 + 2 = 2 + 2 = 4\]

\[x_2 = y_2 + 2 = -5 + 2 = -3\]

Итак, мы получили две пары значений для переменных \(x\) и \(y\):

Пара 1: \(x_1 = 4, y_1 = 2\)

Пара 2: \(x_2 = -3, y_2 = -5\)

Теперь, чтобы найти скорость каждой группы, необходимо разделить длину пути на время, которое они прошли. Допустим, скорости обеих групп равны \(v\) км/ч.

Таким образом, скорость первой группы равна:

\[v_1 = \frac{{x_1}}{{4}} = \frac{{4}}{{4}} = 1\, \text{км/ч}\]

Скорость второй группы равна:

\[v_2 = \frac{{y_1}}{{4}} = \frac{{2}}{{4}} = 0.5\, \text{км/ч}\]

Таким образом, скорость первой группы составляет 1 км/ч, а скорость второй группы составляет 0.5 км/ч.

Обратите внимание, что полученные значения отражают только положительный результат и предполагают, что на юге и на западе нет отрицательных значений пути или скорости. Если бы мы получили отрицательные значения, их следовало бы отбросить в данной задаче.