Какую работу необходимо совершить против электрических сил, чтобы медленно раздвинуть пластины плоского конденсатора

Чтобы понять, какую работу необходимо совершить против электрических сил для раздвижения пластин плоского конденсатора в колебательном контуре так, чтобы циклическая частота колебаний увеличилась в \(n = 2\) раза, давайте рассмотрим следующие шаги:

Шаг 1: Определение начальных условий
Из условия задачи мы знаем, что циклическая частота колебаний увеличилась в \(n = 2\) раза. По формуле связи между циклической частотой (\(\omega\)) и индуктивностью (\(L\)) и емкостью (\(C\)) колебательного контура:
\[\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}\]
мы можем описать отношение циклических частот в виде:
\[\frac{\omega_2}{\omega_1} = n\]
где \(\omega_1\) - начальная циклическая частота, \(\omega_2\) - конечная циклическая частота.

Шаг 2: Выражение начальной циклической частоты через емкость и индуктивность
По формуле циклической частоты, выраженной через емкость и индуктивность, получим:
\(\omega_1 = \frac{1}{\sqrt{L_1C}}\)
где \(L_1\) - начальная индуктивность.

Шаг 3: Выражение конечной циклической частоты через новую емкость и индуктивность
Так как циклическая частота увеличилась в \(n = 2\) раза, то:
\(\omega_2 = \frac{1}{\sqrt{L_2C}} \)
где \(L_2\) - новая индуктивность, \(C\) - новая емкость.

Шаг 4: Определение работы против электрических сил
Работа (\(W\)) против электрических сил для раздвижения пластин плоского конденсатора в колебательном контуре определяется как изменение энергии системы. Мы знаем, что энергия (\(W\)) равна 1 мДж (миллиджоуля).

Используя формулу для энергии в колебательном контуре:
\( W = \frac{1}{2}L_2C\omega_2^2 \)
можем избавиться от неизвестной \(L_2\) и запишем формулу для работы:
\[ W = \frac{1}{2}\frac{C}{C^2}\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\right)^2 n^2 \]
\[ W = \frac{1}{2}\frac{1}{C(1/4LC)}n^2 \]
\[ W = \frac{2}{n^2}\frac{L}{C} \]
\[ W = \frac{2L}{n^2C} \]

Шаг 5: Подстановка значений и нахождение работы
Поскольку в задаче дана энергия \(W = 1\) мДж и увеличение циклической частоты в \(n = 2\) раза, мы можем подставить эти значения в формулу для работы и решить ее:
\[ 1 = \frac{2L}{2^2C} \]
\[ 1 = \frac{L}{4C} \]
\[ L = 4C \]

Таким образом, для раздвижения пластин плоского конденсатора в колебательном контуре так, чтобы циклическая частота колебаний увеличилась в \(n = 2\) раза и энергия составляла 1 мДж, необходимо совершить работу против электрических сил, равную \(2L/n^2C = 2(4C)/(2^2C) = 4C/C = 4\) Дж.