Какую площадь имеет сфера и каков объём шара, если через точку на поверхности сферы проведено сечение радиусом 3

Для начала, давайте определимся с формулами, которые помогут нам решить эту задачу. Площадь сферы \(S\) вычисляется по формуле:

\[S = 4\pi r^2\]

где \(r\) - радиус сферы.

Объем шара \(V\) определяется по формуле:

\[V = \frac{4}{3}\pi r^3\]

Теперь, когда у нас есть формулы, давайте приступим к решению задачи.

Заметим, что сечение, проведенное радиусом нам дает равнобедренный треугольник на поверхности сферы. Угол между радиусом и хордой треугольника составляет 60 градусов, что означает, что угол при вершине равнобедренного треугольника составляет 120 градусов.

Поскольку угол при вершине равен 120 градусов, то у нас получается равнобедренный треугольник со сторонами 3 см, 3 см и \(2r\) (двойной радиус сферы). Для нахождения площади этого треугольника воспользуемся формулой для площади треугольника по двум сторонам и углу между ними:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 \times \sin(120) = \frac{9\sqrt{3}}{4} \, \text{см}^2\]

Так как это половина площади сечения, площадь сферы будет равна удвоенной площади сечения:

\[S = 2 \times S_{\text{треугольника}} = 2 \times \frac{9\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \, \text{см}^2\]

Теперь, перейдем к объему шара. Объем шара можно вычислить, зная его радиус:

\[V = \frac{4}{3}\pi r^3\]

Подставим значение радиуса:

\[V = \frac{4}{3}\pi (\frac{1}{2} \times 2r)^3 = \frac{4}{3}\pi \times \frac{1}{8} \times 8r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3\]

Таким образом, объем шара также равен \(\frac{4}{3}\pi r^3\).

Итак, ответ на задачу: площадь сферы составляет \(\frac{9\sqrt{3}}{2} \, \text{см}^2\), а объем шара также равен \(\frac{4}{3}\pi r^3\).