Какую площадь имеет сфера и каков объём шара, если через точку на поверхности

Question

Геометрия: Какую площадь имеет сфера и каков объём шара, если через точку на поверхности сферы проведено сечение радиусом 3 см под углом 60 градусов к радиусу, проведенному в данной точке?

Летучий_Мыш_2869 · Accepted Answer

Для начала, давайте определимся с формулами, которые помогут нам решить эту задачу. Площадь сферы

S

вычисляется по формуле:

S = 4 π r^{2}

где

r

- радиус сферы.

Объем шара

V

определяется по формуле:

V = \frac{4}{3} π r^{3}

Теперь, когда у нас есть формулы, давайте приступим к решению задачи.

Заметим, что сечение, проведенное радиусом нам дает равнобедренный треугольник на поверхности сферы. Угол между радиусом и хордой треугольника составляет 60 градусов, что означает, что угол при вершине равнобедренного треугольника составляет 120 градусов.

Поскольку угол при вершине равен 120 градусов, то у нас получается равнобедренный треугольник со сторонами 3 см, 3 см и

2 r

(двойной радиус сферы). Для нахождения площади этого треугольника воспользуемся формулой для площади треугольника по двум сторонам и углу между ними:

S_{треугольника} = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 \times \sin (120) = \frac{9 \sqrt{3}}{4} {см}^{2}

Так как это половина площади сечения, площадь сферы будет равна удвоенной площади сечения:

S = 2 \times S_{треугольника} = 2 \times \frac{9 \sqrt{3}}{4} = \frac{9 \sqrt{3}}{2} {см}^{2}

Теперь, перейдем к объему шара. Объем шара можно вычислить, зная его радиус:

V = \frac{4}{3} π r^{3}

Подставим значение радиуса:

V = \frac{4}{3} π (\frac{1}{2} \times 2 r)^{3} = \frac{4}{3} π \times \frac{1}{8} \times 8 r^{3} = \frac{4}{3} π r^{3}

Таким образом, объем шара также равен

\frac{4}{3} π r^{3}

.

Итак, ответ на задачу: площадь сферы составляет

\frac{9 \sqrt{3}}{2} {см}^{2}

, а объем шара также равен

\frac{4}{3} π r^{3}

.

Какую площадь имеет сфера и каков объём шара, если через точку на поверхности сферы проведено сечение радиусом 3

Летучий_Мыш_2869

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!